2次方程式 $2x^2 + x + 2 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、以下の式の値を求めます。 (1) $(\alpha + 2)(\beta + 2)$ (2) $\alpha^2 + \beta^2$ (3) $\frac{1}{\alpha^3} + \frac{1}{\beta^3}$

1. 問題の内容

2次方程式 $2x^2 + x + 2 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、以下の式の値を求めます。

(1) $(\alpha + 2)(\beta + 2)$

(2) $\alpha^2 + \beta^2$

(3) $\frac{1}{\alpha^3} + \frac{1}{\beta^3}$

2. 解き方の手順

まず、解と係数の関係を用いて、$\alpha + \beta$ と $\alpha \beta$ の値を求めます。

$2x^2 + x + 2 = 0$ に対して、解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = -\frac{1}{2}$

$\alpha \beta = \frac{2}{2} = 1$

(1) $(\alpha + 2)(\beta + 2) = \alpha \beta + 2(\alpha + \beta) + 4$

これに、$\alpha + \beta = -\frac{1}{2}$ と $\alpha \beta = 1$ を代入すると、

$(\alpha + 2)(\beta + 2) = 1 + 2(-\frac{1}{2}) + 4 = 1 - 1 + 4 = 4$

(2) $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta$

これに、$\alpha + \beta = -\frac{1}{2}$ と $\alpha \beta = 1$ を代入すると、

$\alpha^2 + \beta^2 = (-\frac{1}{2})^2 - 2(1) = \frac{1}{4} - 2 = \frac{1}{4} - \frac{8}{4} = -\frac{7}{4}$

(3) $\frac{1}{\alpha^3} + \frac{1}{\beta^3} = \frac{\alpha^3 + \beta^3}{\alpha^3 \beta^3} = \frac{(\alpha + \beta)^3 - 3\alpha \beta (\alpha + \beta)}{(\alpha \beta)^3}$

これに、$\alpha + \beta = -\frac{1}{2}$ と $\alpha \beta = 1$ を代入すると、

$\frac{1}{\alpha^3} + \frac{1}{\beta^3} = \frac{(-\frac{1}{2})^3 - 3(1)(-\frac{1}{2})}{(1)^3} = \frac{-\frac{1}{8} + \frac{3}{2}}{1} = -\frac{1}{8} + \frac{12}{8} = \frac{11}{8}$

3. 最終的な答え

(1) 4

(2) $-\frac{7}{4}$

(3) $\frac{11}{8}$