多項式 $x^3 + x^2 - 2x + 1$ を多項式 $B$ で割ったとき、商が $x - 1$ で余りが $3x - 2$ となる。このとき、$B$ を求める。

## 問題2

1. 問題の内容

多項式 $x^3 + x^2 - 2x + 1$ を多項式 $B$ で割ったとき、商が $x - 1$ で余りが $3x - 2$ となる。このとき、$B$ を求める。

2. 解き方の手順

多項式の割り算の関係式は、以下のようになります。

$被除数 = 除数 \times 商 + 余り$

今回の問題では、

被除数 $= x^3 + x^2 - 2x + 1$

除数 $= B$

商 $= x - 1$

余り $= 3x - 2$

したがって、

$x^3 + x^2 - 2x + 1 = B(x - 1) + (3x - 2)$

$B(x - 1) = x^3 + x^2 - 2x + 1 - (3x - 2)$

$B(x - 1) = x^3 + x^2 - 5x + 3$

$B$ を求めるためには、$x^3 + x^2 - 5x + 3$ を $x - 1$ で割る必要があります。

$x^3 + x^2 - 5x + 3$ を $x - 1$ で割ると、商は $x^2 + 2x - 3$ となります。

$\begin{array}{c|cccc} \multicolumn{2}{r}{x^2} & +2x & -3 \\ \cline{2-5} x-1 & x^3 & +x^2 & -5x & +3 \\ \multicolumn{2}{r}{x^3} & -x^2 \\ \cline{2-3} \multicolumn{2}{r}{0} & 2x^2 & -5x \\ \multicolumn{2}{r}{} & 2x^2 & -2x \\ \cline{3-4} \multicolumn{2}{r}{} & 0 & -3x & +3 \\ \multicolumn{2}{r}{} & & -3x & +3 \\ \cline{4-5} \multicolumn{2}{r}{} & & 0 & 0 \\ \end{array}$

したがって、$B = x^2 + 2x - 3$

3. 最終的な答え

$B = x^2 + 2x - 3$

## 問題3

1. 問題の内容

多項式 $2x^3 + 5x^2 - 6x + 3$ を多項式 $B$ で割ったとき、商が $2x - 1$ で余りが $x + 1$ となる。このとき、$B$ を求める。

2. 解き方の手順

多項式の割り算の関係式は、以下のようになります。

$被除数 = 除数 \times 商 + 余り$

今回の問題では、

被除数 $= 2x^3 + 5x^2 - 6x + 3$

除数 $= B$

商 $= 2x - 1$

余り $= x + 1$

したがって、

$2x^3 + 5x^2 - 6x + 3 = B(2x - 1) + (x + 1)$

$B(2x - 1) = 2x^3 + 5x^2 - 6x + 3 - (x + 1)$

$B(2x - 1) = 2x^3 + 5x^2 - 7x + 2$

$B$ を求めるためには、$2x^3 + 5x^2 - 7x + 2$ を $2x - 1$ で割る必要があります。

$2x^3 + 5x^2 - 7x + 2$ を $2x - 1$ で割ると、商は $x^2 + 3x - 2$ となります。

$\begin{array}{c|cccc} \multicolumn{2}{r}{x^2} & +3x & -2 \\ \cline{2-5} 2x-1 & 2x^3 & +5x^2 & -7x & +2 \\ \multicolumn{2}{r}{2x^3} & -x^2 \\ \cline{2-3} \multicolumn{2}{r}{0} & 6x^2 & -7x \\ \multicolumn{2}{r}{} & 6x^2 & -3x \\ \cline{3-4} \multicolumn{2}{r}{} & 0 & -4x & +2 \\ \multicolumn{2}{r}{} & & -4x & +2 \\ \cline{4-5} \multicolumn{2}{r}{} & & 0 & 0 \\ \end{array}$

したがって、$B = x^2 + 3x - 2$

3. 最終的な答え

$B = x^2 + 3x - 2$