整式 $A = 2x^3 - 3ax^2 - 5a^2x + 6a^3$ を、整式 $B = x - 2a$ で割ったときの商と余りを求めよ。

1. 問題の内容

整式 $A = 2x^3 - 3ax^2 - 5a^2x + 6a^3$ を、整式 $B = x - 2a$ で割ったときの商と余りを求めよ。

2. 解き方の手順

多項式の割り算を実行します。

$A = (x - 2a)Q(x) + R$

ここで、$Q(x)$ が商、$R$ が余りです。 $A$ は $x$ について3次式、$B$ は $x$ について1次式なので、$Q(x)$ は2次式、$R$ は定数になります。

まず、$2x^3 - 3ax^2 - 5a^2x + 6a^3$ を $x-2a$ で割ることを考えます。

$2x^3$ を $x$ で割ると $2x^2$ なので、商の最初の項は $2x^2$。

$2x^2(x - 2a) = 2x^3 - 4ax^2$

$(2x^3 - 3ax^2) - (2x^3 - 4ax^2) = ax^2$

次に $ax^2 - 5a^2x$ を $x-2a$ で割ることを考えます。$ax^2$を$x$で割ると$ax$ なので、商の次の項は $ax$

$ax(x - 2a) = ax^2 - 2a^2x$

$(ax^2 - 5a^2x) - (ax^2 - 2a^2x) = -3a^2x$

次に $-3a^2x + 6a^3$を$x-2a$ で割ることを考えます。$-3a^2x$を$x$で割ると$-3a^2$ なので、商の次の項は $-3a^2$

$-3a^2(x - 2a) = -3a^2x + 6a^3$

$(-3a^2x + 6a^3) - (-3a^2x + 6a^3) = 0$

よって、商は $2x^2 + ax - 3a^2$ で、余りは $0$ です。

3. 最終的な答え

商: $2x^2 + ax - 3a^2$

余り: $0$