三角形ABCにおいて、辺ACの中点をDとする。線分BD上にBE:ED = 3:2となる点Eをとる。線分AEの延長とBCの交点をFとする。 (1) 線分AE:EFの比を求める。 (2) 四角形CDEFと三角形ABCの面積の比を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺ACの中点をDとする。線分BD上にBE:ED = 3:2となる点Eをとる。線分AEの延長とBCの交点をFとする。

(1) 線分AE:EFの比を求める。

(2) 四角形CDEFと三角形ABCの面積の比を求める。

2. 解き方の手順

(1) 線分AE:EFを求める。

メネラウスの定理を三角形BCDと直線AFに適用する。

$$\frac{BA}{AC} \cdot \frac{CD}{DB} \cdot \frac{BE}{EF} = 1$$

DはACの中点なので、$CD = DA$であり、$AC = 2CD$

BE:ED = 3:2より、$BE/ED = 3/2$。

BD = BE + EDより、$BD = 3/2ED + ED = 5/2ED$なので、$ED/BD = 2/5$、$BE/BD = 3/5$

したがって、$BD/ED = 5/2$

$$\frac{BF}{FC} \cdot \frac{CD}{DA} \cdot \frac{AE}{EB} = 1$$

$$\frac{BF}{FC} \cdot \frac{1}{1} \cdot \frac{AE}{EB} = 1$$

$$\frac{BF}{FC} = \frac{BE}{AE} = \frac{3}{AE}$$

メネラウスの定理を三角形ACFと直線BEに適用する。

$$\frac{AE}{EF} \cdot \frac{FB}{BC} \cdot \frac{CD}{DA} = 1$$

$\frac{CD}{DA}=1$なので、

$$\frac{AE}{EF} \cdot \frac{FB}{BC} = 1$$

$$\frac{AE}{EF} = \frac{BC}{FB}$$

チェバの定理より

$$\frac{AD}{DC} \cdot \frac{CF}{FB} \cdot \frac{BE}{ED} = 1$$

DはACの中点なので、$AD/DC = 1$。$BE/ED = 3/2$なので

$$1 \cdot \frac{CF}{FB} \cdot \frac{3}{2} = 1$$

$$\frac{CF}{FB} = \frac{2}{3}$$

$CF/FB = 2/3$なので、$BF/BC = 3/5$

$$\frac{AE}{EF} = \frac{BC}{FB} = \frac{5}{3}$$

したがって、$AE:EF = 5:3$

(2) 四角形CDEFと三角形ABCの面積の比を求める。

$\triangle ABC$の面積をSとする。

$AD = DC$なので$\triangle ABD = \triangle DBC = S/2$

$BE:ED = 3:2$なので$\triangle ABE : \triangle AED = 3:2$

$\triangle DBC = S/2$で、$BE:ED = 3:2$なので、$\triangle EBC = \frac{3}{5} \cdot \frac{S}{2} = \frac{3S}{10}$

$\triangle EDC = \frac{2}{5} \cdot \frac{S}{2} = \frac{S}{5}$

$BF:FC = 3:2$なので、$FC = 2/5 BC$

$\triangle AFC = \frac{2}{5} \triangle ABC = \frac{2S}{5}$

$\triangle AEF = \frac{3}{8} \triangle AFE$

$AE = 5/8 AF$

$\triangle ABE = \frac{1}{2} AB \cdot AE \sin A$

$\frac{AE}{AF} = \frac{5}{8}$なので

$\frac{\triangle ABE}{\triangle ABF} = \frac{5}{8}$

$\triangle ABF = \frac{3}{5} \triangle ABC = \frac{3}{5}S$なので

$\triangle ABE = \frac{5}{8} \cdot \frac{3}{5}S = \frac{3}{8}S$

$\triangle EBC = \frac{3}{10} S$

$\triangle ABF = \frac{3}{5}S$

$\frac{FC}{BC} = \frac{2}{5}$

$\frac{\triangle AFC}{\triangle ABC} = \frac{FC}{BC} = \frac{2}{5}$なので$\triangle AFC = \frac{2}{5} S$

$\frac{\triangle AEF}{\triangle AFC} = \frac{EF}{AC} = \frac{3}{8}$なので$\triangle AEF = \frac{3}{8} \triangle AFC = \frac{3}{8} \cdot \frac{2}{5} S = \frac{3}{20} S$

四角形CDEF = $\triangle AFC - \triangle AED$

$\triangle AED = \frac{2}{5} \triangle ABD = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2} S = \frac{1}{5}S$

四角形CDEF = $\frac{2}{5}S - \frac{1}{5}S = \frac{1}{5}S$

四角形CDEFの面積:$\triangle ABC$の面積 = $\frac{1}{5}S : S = 1:5$

3. 最終的な答え

(1) AE:EF = 5:3

(2) 四角形CDEFと$\triangle ABC$の面積の比は 1:5