$\triangle ABC$ において、$AC$ の中点を $D$ とする。線分 $BD$ 上に $BE:ED = 3:2$ となる点 $E$ をとる。$AE$ の延長と $BC$ の交点を $F$ とする。このとき、 (1) 線分の比 $AE:EF$ を求めよ。 (2) 四角形 $CDEF$ と $\triangle ABC$ の面積の比を求めよ。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において、$AC$ の中点を $D$ とする。線分 $BD$ 上に $BE:ED = 3:2$ となる点 $E$ をとる。$AE$ の延長と $BC$ の交点を $F$ とする。このとき、

(1) 線分の比 $AE:EF$ を求めよ。

(2) 四角形 $CDEF$ と $\triangle ABC$ の面積の比を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 線分の比 $AE:EF$ を求める。メネラウスの定理を用いる。$\triangle BCF$ と直線 $AE$ に対して、

$$\frac{BA}{AC} \cdot \frac{CD}{DF} \cdot \frac{FE}{EB} = 1$$

$AC = 2CD$ より、$BA/AC = BA/(2CD)$。また、$BE:ED = 3:2$ より、$BE = \frac{3}{5}BD$、$ED = \frac{2}{5}BD$。

したがって、$CD = DA$ より、

$$\frac{BC}{CF} \cdot \frac{FA}{AE} \cdot \frac{ED}{DB} = 1$$

ここで、$CD = DA$ より、$AC=2CD$。

また、$BE:ED = 3:2$ であるから、$ED = \frac{2}{5}BD$、 $BE = \frac{3}{5}BD$ である。

$\triangle BCD$ と直線 $AEF$ に対して、メネラウスの定理を用いると、

$$\frac{BE}{ED} \cdot \frac{DA}{AC} \cdot \frac{CF}{FB} = 1$$

$$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{CF}{FB} = 1$$

$$\frac{CF}{FB} = \frac{4}{3}$$

よって、$\frac{BC}{FB} = \frac{BF - CF}{FB} = \frac{BF}{FB} - \frac{CF}{FB} = 1 + \frac{4}{3} = \frac{7}{3}$。

次に、$\triangle ACF$ と直線 $BD$ に対して、メネラウスの定理を用いると、

$$\frac{AD}{DC} \cdot \frac{CB}{BF} \cdot \frac{FE}{EA} = 1$$

$$1 \cdot \frac{7}{3} \cdot \frac{FE}{EA} = 1$$

$$\frac{FE}{EA} = \frac{3}{7}$$

よって、$AE:EF = 7:3$。

(2) 四角形 $CDEF$ と $\triangle ABC$ の面積の比を求める。

$\triangle ABC$ の面積を $S$ とおく。$AD = DC$ より、$\triangle ABD = \triangle DBC = \frac{1}{2}S$。

$BE:ED = 3:2$ より、$\triangle ABE = \frac{3}{5} \triangle ABD = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} S = \frac{3}{10} S$。

$\triangle AED = \frac{2}{5} \triangle ABD = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2} S = \frac{1}{5} S$。

$\triangle AEF \sim \triangle CEF$ となる。$AE:EF = 7:3$ より、$AE = \frac{7}{10}AF$、 $EF = \frac{3}{10}AF$。

$\triangle ABC$ でメネラウスの定理より、$BF = \frac{3}{7}BC$、$CF = \frac{4}{7}BC$ である。

$\triangle ABE = \frac{3}{10}S$。$\triangle ABF = \frac{3}{7}S$ である。$\triangle ACF = \frac{4}{7}S$ である。

$\triangle CEF = \frac{3}{7}\triangle ACE = \frac{3}{7} \cdot \frac{AD}{AC} S = \frac{AE}{AF} = \frac{3}{10} \triangle ACF = \frac{AE}{AF} \frac{4}{7}S = \frac{AE}{AF} \frac{4}{7}S$

$\frac{AF}{AE} = \frac{10}{7}$ より、 $\triangle AEF = \frac{3}{7}\frac{S}{2} = \frac{3}{14} S$。$\triangle AEF = \frac{3}{10} \triangle AFC = \frac{3}{10} \cdot \frac{4}{7} S = \frac{12}{70}S = \frac{6}{35}S$。

$\triangle ABC = S$, $\triangle CDEF = \triangle CDF + \triangle CEF = \frac{CF}{BC}\frac{DE}{DB}\triangle ABC = \frac{4}{7}\frac{2}{5} = \frac{8}{35}$.

$CDEF = \triangle DBC - \triangle EBF$, $\triangle EBF = \frac{3}{5} (\frac{3}{7} \cdot \frac{1}{2}S) = \frac{9}{70}$

$\frac{1}{2} S - \frac{9}{70} S = \frac{35-9}{70}S = \frac{26}{70} S = \frac{13}{35}S$

$\triangle AED = \frac{1}{5} S$.

$\frac{\frac{13}{35}}{S} = \frac{13}{35}$.

3. 最終的な答え

(1) $AE:EF = 7:3$

(2) 四角形 $CDEF$ と $\triangle ABC$ の面積の比は $13:35$