平行四辺形ABCDにおいて、辺CD, DAの中点をそれぞれM, Nとし、線分AMとBNの交点をPとする。 (1) AP:PMを求める。 (2) BP:PNを求める。 (3) 平行四辺形ABCDの面積が40 cm^2 のとき、△APNの面積を求める。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、辺CD, DAの中点をそれぞれM, Nとし、線分AMとBNの交点をPとする。

(1) AP:PMを求める。

(2) BP:PNを求める。

(3) 平行四辺形ABCDの面積が40 cm^2 のとき、△APNの面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) AP:PMを求める。

平行四辺形ABCDにおいて、$\vec{AB} = \vec{b}$, $\vec{AD} = \vec{d}$とおくと、$\vec{AM} = \vec{AD} + \vec{DM} = \vec{d} + \frac{1}{2}\vec{b}$、$\vec{AN} = \frac{1}{2}\vec{d}$、$\vec{BN} = \vec{AN} - \vec{AB} = \frac{1}{2}\vec{d} - \vec{b}$となる。

PはAM上にあるので、実数$s$を用いて $\vec{AP} = s\vec{AM} = s(\vec{d} + \frac{1}{2}\vec{b})$と表せる。

また、PはBN上にあるので、実数$t$を用いて $\vec{BP} = t\vec{BN} = t(\frac{1}{2}\vec{d} - \vec{b})$と表せる。

$\vec{AP} = \vec{AB} + \vec{BP}$より、

$s(\vec{d} + \frac{1}{2}\vec{b}) = \vec{b} + t(\frac{1}{2}\vec{d} - \vec{b})$

$s\vec{d} + \frac{s}{2}\vec{b} = (1-t)\vec{b} + \frac{t}{2}\vec{d}$

$\vec{b}$と$\vec{d}$は一次独立なので、

$s = \frac{t}{2}$ かつ $\frac{s}{2} = 1-t$

$s = \frac{t}{2}$を$\frac{s}{2} = 1-t$に代入して、

$\frac{t}{4} = 1-t$

$t = 4 - 4t$

$5t = 4$

$t = \frac{4}{5}$

よって、$s = \frac{2}{5}$となる。

$\vec{AP} = \frac{2}{5}\vec{AM}$なので、AP:PM = 2:3

(2) BP:PNを求める。

$\vec{BP} = \frac{4}{5}\vec{BN}$なので、BP:PN = 4:1

(3) 平行四辺形ABCDの面積が40 cm^2 のとき、△APNの面積を求める。

$\triangle ABN = \frac{1}{2} \triangle ABD = \frac{1}{4} \text{平行四辺形ABCD} = \frac{1}{4} \times 40 = 10$

$\triangle APN = \frac{AP}{AM} \triangle AMN = \frac{2}{5} \triangle AMN$

$\triangle AMN = \frac{1}{2} \triangle ADN = \frac{1}{4} \triangle ADC = \frac{1}{8} \text{平行四辺形ABCD} = \frac{1}{8} \times 40 = 5$

よって、$\triangle APN = \frac{2}{5} \times 5 = 2$

3. 最終的な答え

(1) AP:PM = 2:3

(2) BP:PN = 4:1

(3) △APNの面積 = 2 cm^2