2桁の正の整数があり、以下の条件を満たす時、元の整数を求めよ。 * その整数は、十の位の数と一の位の数の和の5倍に等しい。 * 十の位の数と一の位の数を入れ替えてできる整数は、元の整数より9大きくなる。 (1) 十の位が $x$、一の位が $y$ である数を式で表せ。 (2) 元の整数を求めよ。

はい、承知いたしました。以下に問題の解答を示します。

**問題4**

1. **問題の内容**

2桁の正の整数があり、以下の条件を満たす時、元の整数を求めよ。

* その整数は、十の位の数と一の位の数の和の5倍に等しい。

* 十の位の数と一の位の数を入れ替えてできる整数は、元の整数より9大きくなる。

(1) 十の位が $x$、一の位が $y$ である数を式で表せ。

(2) 元の整数を求めよ。

2. **解き方の手順**

(1) 2桁の整数は、十の位の数を $x$、一の位の数を $y$ とすると、$10x + y$ で表されます。

(2) 問題文の条件から、以下の2つの式が得られます。

* $10x + y = 5(x + y)$

* $10y + x = 10x + y + 9$

最初の式を整理すると、

$10x + y = 5x + 5y$

$5x = 4y$

次の式を整理すると、

$9y - 9x = 9$

$y - x = 1$

$y = x + 1$

$y = x+1$ を $5x = 4y$ に代入すると、

$5x = 4(x+1)$

$5x = 4x + 4$

$x = 4$

したがって、$y = x + 1 = 4 + 1 = 5$

元の整数は、$10x + y = 10 \times 4 + 5 = 45$

3. **最終的な答え**

(1) $10x + y$

(2) 45

**問題5**

1. **問題の内容**

図のような正方形ABCDがあり、点PはAを出発して辺AB上をBまで動く。点Qは点PがAを出発するのと同時にDを出発し、Pと同じ速さで辺DA上をAまで動く。正方形の一辺の長さが8cmであるとき、三角形APQの面積が6 cm$^2$になるのは、点PがAから何cm動いたときか。

2. **解き方の手順**

点PがAから $x$ cm動いたとすると、点QもDから $x$ cm動くので、AQの長さは $8 - x$ cmとなる。

三角形APQの面積は、$\frac{1}{2} \times AP \times AQ$ で表される。

$AP = x$、 $AQ = 8-x$なので、

$\frac{1}{2} \times x \times (8-x) = 6$

これを解くと、

$x(8-x) = 12$

$8x - x^2 = 12$

$x^2 - 8x + 12 = 0$

$(x-2)(x-6) = 0$

$x = 2, 6$

どちらの解も $0 \leq x \leq 8$ を満たすので、どちらも答えとして適切である。

3. **最終的な答え**

2 cm, 6 cm

**問題3**

1. **問題の内容**

8%の食塩水と14%の食塩水を混ぜて、10%の食塩水を900gつくる。

(1) 10%の食塩水 900gのなかには、何gの食塩がふくまれているか。

(2) 2種類の食塩水をそれぞれ何gずつ混ぜればよいか。

2. **解き方の手順**

(1) 10%の食塩水900gに含まれる食塩の量は、

$900 \times 0.10 = 90$ g

(2) 8%の食塩水を $x$ g、14%の食塩水を $y$ g混ぜるとする。

すると、

$x + y = 900$

$0.08x + 0.14y = 90$

最初の式から $y = 900 - x$ を得て、これを次の式に代入する。

$0.08x + 0.14(900-x) = 90$

$0.08x + 126 - 0.14x = 90$

$-0.06x = -36$

$x = 600$

すると、$y = 900 - x = 900 - 600 = 300$

3. **最終的な答え**

(1) 90 g

(2) 8%の食塩水 600 g, 14%の食塩水 300 g

**問題4**

1. **問題の内容**

ある学校の合唱部の部員数は、去年は全員で35人だった。今年は、男子が30%増え、女子が20%減ったので、全員で38人になった。今年の男子、女子の部員数は、それぞれ何人か。

※去年の男子、女子の部員数は、それぞれx、yとする。

2. **解き方の手順**

去年の男子の部員数を $x$ 人、女子の部員数を $y$ 人とすると、以下の式が成り立つ。

* $x + y = 35$

* $1.3x + 0.8y = 38$

最初の式から $y = 35 - x$ を得て、これを次の式に代入する。

$1.3x + 0.8(35-x) = 38$

$1.3x + 28 - 0.8x = 38$

$0.5x = 10$

$x = 20$

すると、$y = 35 - x = 35 - 20 = 15$

今年の男子の部員数は、$1.3x = 1.3 \times 20 = 26$ 人

今年の女子の部員数は、$0.8y = 0.8 \times 15 = 12$ 人

3. **最終的な答え**

男子 26 人, 女子 12 人