平行四辺形ABCDにおいて、辺BCを1:2に分ける点をP、辺CDを2:3に分ける点をQとする。DPとAQの交点をRとするとき、以下の比を求めよ。 (1) AR:RQ (2) DR:RP (3) 三角形ARDと平行四辺形ABCDの面積比

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、辺BCを1:2に分ける点をP、辺CDを2:3に分ける点をQとする。DPとAQの交点をRとするとき、以下の比を求めよ。

(1) AR:RQ

(2) DR:RP

(3) 三角形ARDと平行四辺形ABCDの面積比

2. 解き方の手順

(1) AR:RQを求める。

まず、$\vec{AB}=\vec{b}$、$\vec{AD}=\vec{d}$とおく。

点Pは辺BCを1:2に分ける点なので、$\vec{AP}=\vec{AB}+\vec{BP}=\vec{b}+\frac{1}{3}\vec{d}$

点Qは辺CDを2:3に分ける点なので、$\vec{AQ}=\vec{AD}+\vec{DQ}=\vec{d}+\frac{2}{5}\vec{b}$

点RはDP上にあるので、$s$を用いて$\vec{AR}=(1-s)\vec{AD}+s\vec{AP}=(1-s)\vec{d}+s(\vec{b}+\frac{1}{3}\vec{d})=s\vec{b}+(1-\frac{2}{3}s)\vec{d}$と表せる。

また、点RはAQ上にあるので、$t$を用いて$\vec{AR}=t\vec{AQ}=t(\vec{d}+\frac{2}{5}\vec{b})=\frac{2}{5}t\vec{b}+t\vec{d}$と表せる。

$\vec{b}$と$\vec{d}$は一次独立なので、

$s=\frac{2}{5}t$

$1-\frac{2}{3}s=t$

上の2式を解くと、$t=\frac{15}{19}$、$s=\frac{6}{19}$

$\vec{AR}=\frac{15}{19}\vec{AQ}$より、AR:RQ = 15:4

(2) DR:RPを求める。

点RはDP上にあるので、DR:RP = (1-s):s = (1-$\frac{6}{19}$):$\frac{6}{19}$ = $\frac{13}{19}$:$\frac{6}{19}$ = 13:6

(3) △ARDと平行四辺形ABCDの面積比を求める。

$\triangle ARD = \frac{1}{2}|\vec{AR} \times \vec{AD}|$

$= \frac{1}{2}|(\frac{15}{19}\vec{AQ}) \times \vec{AD}|$

$= \frac{15}{19} \times \frac{1}{2}|(\vec{AD}+\frac{2}{5}\vec{AB})\times \vec{AD}|$

$= \frac{15}{19} \times \frac{1}{2}|\vec{AD}\times \vec{AD} + \frac{2}{5}\vec{AB} \times \vec{AD}|$

$= \frac{15}{19} \times \frac{1}{2} \times \frac{2}{5} |\vec{AB} \times \vec{AD}|$

$= \frac{3}{19}|\vec{AB} \times \vec{AD}|$

平行四辺形ABCDの面積は$|\vec{AB} \times \vec{AD}|$

$\triangle ARD : 平行四辺形ABCD = \frac{3}{19}|\vec{AB} \times \vec{AD}| : |\vec{AB} \times \vec{AD}| = 3:19$

3. 最終的な答え

(1) AR:RQ = 15:4

(2) DR:RP = 13:6

(3) △ARD : 平行四辺形ABCD = 3:19