(1) $AB = 2, BC = 4, CA = 3$ である三角形 $ABC$ において、角 $A$ の二等分線が辺 $BC$ と交わる点を $D$ とする。 1. $\cos B$ の値を求めよ。 2. 線分 $BD$ の長さを求めよ。 3. 線分 $AD$ の長さを求めよ。 (2) $AB = 5, BC = 7, CA = 3$ である三角形 $ABC$ において、角 $A$ の二等分線が辺 $BC$ と交わる点を $D$ とする。角 $A$ の大きさと線分 $AD$ の長さをそれぞれ求めよ。

1. 問題の内容

(1) $AB = 2, BC = 4, CA = 3$ である三角形 $ABC$ において、角 $A$ の二等分線が辺 $BC$ と交わる点を $D$ とする。

1. $\cos B$ の値を求めよ。

2. 線分 $BD$ の長さを求めよ。

3. 線分 $AD$ の長さを求めよ。

(2) $AB = 5, BC = 7, CA = 3$ である三角形 $ABC$ において、角 $A$ の二等分線が辺 $BC$ と交わる点を $D$ とする。角 $A$ の大きさと線分 $AD$ の長さをそれぞれ求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

1. 余弦定理を用いて $\cos B$ を求める。三角形 $ABC$ において、

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B$

$3^2 = 2^2 + 4^2 - 2 \cdot 2 \cdot 4 \cdot \cos B$

$9 = 4 + 16 - 16 \cos B$

$16 \cos B = 11$

$\cos B = \frac{11}{16}$

2. 角の二等分線の性質より、$BD:DC = AB:AC = 2:3$。

$BD = \frac{2}{2+3} BC = \frac{2}{5} \cdot 4 = \frac{8}{5}$

3. 三角形 $ABD$ において、余弦定理を用いて $AD$ を求める。

$AD^2 = AB^2 + BD^2 - 2 \cdot AB \cdot BD \cdot \cos B$

$AD^2 = 2^2 + (\frac{8}{5})^2 - 2 \cdot 2 \cdot \frac{8}{5} \cdot \frac{11}{16}$

$AD^2 = 4 + \frac{64}{25} - \frac{352}{80} = 4 + \frac{64}{25} - \frac{22}{5} = \frac{100 + 64 - 110}{25} = \frac{54}{25}$

$AD = \sqrt{\frac{54}{25}} = \frac{3\sqrt{6}}{5}$

(2)

まず余弦定理から $\cos A$ を求める。

$BC^2 = AB^2 + CA^2 - 2 \cdot AB \cdot CA \cdot \cos A$

$7^2 = 5^2 + 3^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot \cos A$

$49 = 25 + 9 - 30 \cos A$

$30 \cos A = -15$

$\cos A = -\frac{1}{2}$

$A = 120^\circ$

角の二等分線の性質より、$BD:DC = AB:AC = 5:3$

$BD = \frac{5}{5+3} BC = \frac{5}{8} \cdot 7 = \frac{35}{8}$

三角形 $ABD$ において、余弦定理を用いて $AD$ を求める。

$AD^2 = AB^2 + BD^2 - 2 \cdot AB \cdot BD \cdot \cos B$。ここで、$\angle ABD = \angle ABC = B$ である。

$\cos B$ を求める。

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B$

$3^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos B$

$9 = 25 + 49 - 70 \cos B$

$70 \cos B = 65$

$\cos B = \frac{13}{14}$

$AD^2 = 5^2 + (\frac{35}{8})^2 - 2 \cdot 5 \cdot \frac{35}{8} \cdot \frac{13}{14} = 25 + \frac{1225}{64} - \frac{4550}{112} \cdot \frac{1}{2}$

$AD^2 = 25 + \frac{1225}{64} - \frac{2275}{56}$

通分して計算すると、$AD^2 = \frac{211}{8} \quad AD = \sqrt{\frac{211}{8}} = \frac{\sqrt{422}}{4}$

3. 最終的な答え

(1)

1. $\cos B = \frac{11}{16}$

2. $BD = \frac{8}{5}$

3. $AD = \frac{3\sqrt{6}}{5}$

(2)

$A = 120^\circ$

$AD = \frac{\sqrt{422}}{4}$