5つの数学の問題があります。 * 1つ目は、$\sqrt[5]{1024}$ を計算する問題です。 * 2つ目は、$\sqrt{a \times \sqrt[3]{a}} = a^x$ となる $x$ を求める問題です。 * 3つ目は、$x^{\frac{1}{3}} + x^{-\frac{1}{3}} = 3$ のとき、$x^1 + x^{-1}$ を求める問題です。 * 4つ目は、$x^{\frac{1}{3}} + x^{-\frac{1}{3}} = 3$ のとき、$x^3 + x^{-3}$ を求める問題です。 * 5つ目は、$\log_{25}{\sqrt{\frac{1}{5}}}$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

5つの数学の問題があります。

* 1つ目は、$\sqrt[5]{1024}$ を計算する問題です。

* 2つ目は、$\sqrt{a \times \sqrt[3]{a}} = a^x$ となる $x$ を求める問題です。

* 3つ目は、$x^{\frac{1}{3}} + x^{-\frac{1}{3}} = 3$ のとき、$x^1 + x^{-1}$ を求める問題です。

* 4つ目は、$x^{\frac{1}{3}} + x^{-\frac{1}{3}} = 3$ のとき、$x^3 + x^{-3}$ を求める問題です。

* 5つ目は、$\log_{25}{\sqrt{\frac{1}{5}}}$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

* 1つ目の問題:

1024 を素因数分解すると、$1024 = 2^{10}$ となります。

したがって、$\sqrt[5]{1024} = \sqrt[5]{2^{10}} = (2^{10})^{\frac{1}{5}} = 2^{\frac{10}{5}} = 2^2 = 4$ となります。

* 2つ目の問題:

$\sqrt{a \times \sqrt[3]{a}}$ を指数を使って表すと、$(a \times a^{\frac{1}{3}})^{\frac{1}{2}} = (a^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}})^{\frac{1}{2}} = (a^{\frac{4}{3}})^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{4}{3} \times \frac{1}{2}} = a^{\frac{2}{3}}$ となります。

したがって、$x = \frac{2}{3}$ です。

* 3つ目の問題:

$x^{\frac{1}{3}} + x^{-\frac{1}{3}} = 3$ の両辺を3乗します。

$(x^{\frac{1}{3}} + x^{-\frac{1}{3}})^3 = 3^3$

$x + 3(x^{\frac{1}{3}})^2(x^{-\frac{1}{3}}) + 3(x^{\frac{1}{3}})(x^{-\frac{1}{3}})^2 + x^{-1} = 27$

$x + 3x^{\frac{2}{3}}x^{-\frac{1}{3}} + 3x^{\frac{1}{3}}x^{-\frac{2}{3}} + x^{-1} = 27$

$x + 3x^{\frac{1}{3}} + 3x^{-\frac{1}{3}} + x^{-1} = 27$

$x + x^{-1} + 3(x^{\frac{1}{3}} + x^{-\frac{1}{3}}) = 27$

$x + x^{-1} + 3(3) = 27$

$x + x^{-1} + 9 = 27$

$x + x^{-1} = 27 - 9$

$x + x^{-1} = 18$

* 4つ目の問題:

$x^{\frac{1}{3}} + x^{-\frac{1}{3}} = 3$ なので、$x + x^{-1} = 18$ を使うことができません。

$(x^{\frac{1}{3}} + x^{-\frac{1}{3}})^3 = x + 3 x^{\frac{2}{3}} x^{-\frac{1}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} x^{-\frac{2}{3}} + x^{-1}= x + 3x^{\frac{1}{3}} + 3x^{-\frac{1}{3}} + x^{-1} = x + x^{-1} + 3(x^{\frac{1}{3}} + x^{-\frac{1}{3}}) = 3^3 = 27$。これは$x + x^{-1} = 18$となります。

$(x + x^{-1})^3 = x^3 + 3 x^2 x^{-1} + 3 x x^{-2} + x^{-3} = x^3 + x^{-3} + 3(x + x^{-1}) = 18^3 = 5832$

したがって、$x^3 + x^{-3} = 18^3 - 3(18) = 5832 - 54 = 5778$.

* 5つ目の問題:

$\log_{25}{\sqrt{\frac{1}{5}}} = \log_{5^2}{(\frac{1}{5})^{\frac{1}{2}}} = \log_{5^2}{(5^{-1})^{\frac{1}{2}}} = \log_{5^2}{5^{-\frac{1}{2}}} = x$ とおくと、$(5^2)^x = 5^{-\frac{1}{2}}$ となります。

$5^{2x} = 5^{-\frac{1}{2}}$

$2x = -\frac{1}{2}$

$x = -\frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

* 1つ目の問題の答え: 4

* 2つ目の問題の答え: 2/3

* 3つ目の問題の答え: 18

* 4つ目の問題の答え: 5778

* 5つ目の問題の答え: -1/4