階差数列の一般項が $b_n = 3^n$ で与えられ、初項が $a_1 = 1$ の数列の一般項 $a_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

階差数列の一般項が $b_n = 3^n$ で与えられ、初項が $a_1 = 1$ の数列の一般項 $a_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

階差数列の一般項が与えられているので、$n \geq 2$ のとき、数列 $\{a_n\}$ の一般項は次の式で表されます。

$$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$$

問題文より、$a_1 = 1$ であり、$b_k = 3^k$ なので、

$$a_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} 3^k$$

ここで、$\sum_{k=1}^{n-1} 3^k$ は初項 $3$, 公比 $3$, 項数 $n-1$ の等比数列の和であるから、

$$\sum_{k=1}^{n-1} 3^k = \frac{3(3^{n-1} - 1)}{3-1} = \frac{3^n - 3}{2}$$

したがって、$n \geq 2$ のとき

$$a_n = 1 + \frac{3^n - 3}{2} = \frac{2 + 3^n - 3}{2} = \frac{3^n - 1}{2}$$

$n=1$ のとき、$a_1 = \frac{3^1 - 1}{2} = \frac{2}{2} = 1$ となり、問題文の条件と一致します。よって、この式は $n=1$ のときも成り立ちます。

3. 最終的な答え

$$a_n = \frac{3^n - 1}{2}$$