初項から第$n$項までの和 $S_n$ が $S_n = 3n^2 - 2n + 2$ で表される数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

1. 問題の内容

初項から第$n$項までの和 $S_n$ が $S_n = 3n^2 - 2n + 2$ で表される数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

2. 解き方の手順

数列の和 $S_n$ から一般項 $a_n$ を求めるには、以下の公式を利用します。

$a_1 = S_1$

$a_n = S_n - S_{n-1} \quad (n \geq 2)$

まず、$a_1$ を求めます。

$S_1 = 3(1)^2 - 2(1) + 2 = 3 - 2 + 2 = 3$

したがって、$a_1 = S_1 = 3$

次に、$n \geq 2$ のとき、$a_n$ を求めます。

$S_n = 3n^2 - 2n + 2$

$S_{n-1} = 3(n-1)^2 - 2(n-1) + 2 = 3(n^2 - 2n + 1) - 2n + 2 + 2 = 3n^2 - 6n + 3 - 2n + 4 = 3n^2 - 8n + 7$

したがって、$n \geq 2$ のとき、

$a_n = S_n - S_{n-1} = (3n^2 - 2n + 2) - (3n^2 - 8n + 7) = 3n^2 - 2n + 2 - 3n^2 + 8n - 7 = 6n - 5$

$n=1$ のとき、$a_1 = 6(1) - 5 = 1$ となりますが、$a_1 = 3$ であったので、これは数列 $\{a_n\}$ の一般項として適切ではありません。

したがって、

$a_1 = 3$

$a_n = 6n - 5 \quad (n \geq 2)$

3. 最終的な答え

$a_1 = 3, a_n = 6n - 5 \quad (n \geq 2)$