数列 $1, 0, 0, 1, 3, \dots$ の階差数列を考え、第7項を求めます。

1. 問題の内容

数列 $1, 0, 0, 1, 3, \dots$ の階差数列を考え、第7項を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた数列の階差数列を求めます。

数列を $a_n$ とすると、

$a_1 = 1, a_2 = 0, a_3 = 0, a_4 = 1, a_5 = 3$ です。

階差数列 $b_n$ は、 $b_n = a_{n+1} - a_n$ で定義されます。

$b_1 = a_2 - a_1 = 0 - 1 = -1$

$b_2 = a_3 - a_2 = 0 - 0 = 0$

$b_3 = a_4 - a_3 = 1 - 0 = 1$

$b_4 = a_5 - a_4 = 3 - 1 = 2$

したがって、階差数列は $-1, 0, 1, 2, \dots$ となります。

階差数列 $b_n$ は等差数列であり、初項は $-1$, 公差は $1$ です。

したがって、$b_n = -1 + (n-1) \times 1 = n - 2$ です。

数列 $a_n$ の第7項 $a_7$ を求めるには、

$a_7 = a_1 + \sum_{k=1}^{6} b_k$ を計算します。

$\sum_{k=1}^{6} b_k = \sum_{k=1}^{6} (k - 2) = \sum_{k=1}^{6} k - \sum_{k=1}^{6} 2 = \frac{6(6+1)}{2} - 2 \times 6 = \frac{6 \times 7}{2} - 12 = 21 - 12 = 9$

したがって、

$a_7 = a_1 + \sum_{k=1}^{6} b_k = 1 + 9 = 10$ となります。

3. 最終的な答え

10