与えられた数列 $1, 2, 0, 4, -4, \dots$ の第7項を、階差数列を利用して求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた数列 $1, 2, 0, 4, -4, \dots$ の第7項を、階差数列を利用して求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた数列を $\{a_n\}$ とします。つまり、$a_1 = 1, a_2 = 2, a_3 = 0, a_4 = 4, a_5 = -4, \dots$

階差数列 $\{b_n\}$ は、$b_n = a_{n+1} - a_n$ で定義されます。

与えられた数列の階差数列を求めます。

$b_1 = a_2 - a_1 = 2 - 1 = 1$

$b_2 = a_3 - a_2 = 0 - 2 = -2$

$b_3 = a_4 - a_3 = 4 - 0 = 4$

$b_4 = a_5 - a_4 = -4 - 4 = -8$

階差数列は $1, -2, 4, -8, \dots$ となります。これは公比が $-2$ の等比数列です。

したがって、$b_n = 1 \times (-2)^{n-1} = (-2)^{n-1}$ と表せます。

数列 $\{a_n\}$ の一般項は、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$ で与えられます。

$a_1 = 1$ であり、$b_k = (-2)^{k-1}$ なので、

$a_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} (-2)^{k-1}$

等比数列の和の公式 $\sum_{k=1}^{n} r^{k-1} = \frac{1 - r^n}{1 - r}$ を用いると、

$a_n = 1 + \frac{1 - (-2)^{n-1}}{1 - (-2)} = 1 + \frac{1 - (-2)^{n-1}}{3} = \frac{3 + 1 - (-2)^{n-1}}{3} = \frac{4 - (-2)^{n-1}}{3}$

第7項を求めるので、$n = 7$ を代入します。

$a_7 = \frac{4 - (-2)^{7-1}}{3} = \frac{4 - (-2)^6}{3} = \frac{4 - 64}{3} = \frac{-60}{3} = -20$

3. 最終的な答え

-20