階差数列の一般項が $b_n = \frac{1}{2^n}$ で与えられ、初項が $a_1 = 4$ の数列 $a_n$ の一般項を求める問題です。

1. 問題の内容

階差数列の一般項が $b_n = \frac{1}{2^n}$ で与えられ、初項が $a_1 = 4$ の数列 $a_n$ の一般項を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$n \ge 2$ のとき、$a_n$ は次の式で表されます。

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$

問題文より $a_1 = 4$、$b_n = \frac{1}{2^n}$ なので、これらを代入すると

$a_n = 4 + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{2^k}$

$\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{2^k}$ は初項 $\frac{1}{2}$、公比 $\frac{1}{2}$、項数 $n-1$ の等比数列の和であるため、次の式で計算できます。

$\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{2^k} = \frac{\frac{1}{2}(1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1})}{1-\frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2^{n-1}})}{\frac{1}{2}} = 1 - \frac{1}{2^{n-1}}$

したがって、

$a_n = 4 + 1 - \frac{1}{2^{n-1}} = 5 - \frac{1}{2^{n-1}}$

これは $n \ge 2$ のときの式なので、$n=1$ のときも成り立つか確認します。

$a_1 = 5 - \frac{1}{2^{1-1}} = 5 - \frac{1}{2^0} = 5 - 1 = 4$

となり、$n=1$ のときも成り立ちます。

3. 最終的な答え

$a_n = 5 - \frac{1}{2^{n-1}}$