階差数列の一般項 $b_n = 6n^2$ で与えられ、初項 $a_1 = 1$ の数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求める。

1. 問題の内容

階差数列の一般項 $b_n = 6n^2$ で与えられ、初項 $a_1 = 1$ の数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求める。

2. 解き方の手順

数列 $\{a_n\}$ の階差数列が $\{b_n\}$ であることから、$n \ge 2$ のとき、

$$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$$

が成り立つ。

ここで、$a_1 = 1$、$b_k = 6k^2$ であるから、

$$a_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} 6k^2 = 1 + 6 \sum_{k=1}^{n-1} k^2$$

$\sum_{k=1}^{n-1} k^2 = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}$ であるから、

$$a_n = 1 + 6 \cdot \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} = 1 + (n-1)n(2n-1)$$

$$a_n = 1 + (n-1)(2n^2 - n) = 1 + 2n^3 - n^2 - 2n^2 + n = 2n^3 - 3n^2 + n + 1$$

この式は $n=1$ のときも $a_1 = 2(1)^3 - 3(1)^2 + 1 + 1 = 2 - 3 + 1 + 1 = 1$ となり成り立つ。

したがって、一般項 $a_n$ は $a_n = 2n^3 - 3n^2 + n + 1$ である。

3. 最終的な答え

$a_n = 2n^3 - 3n^2 + n + 1$