階差数列の一般項 $b_n = 2n - 2$ が与えられており、初項が $a_1 = 1$ である数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求める。

1. 問題の内容

階差数列の一般項 $b_n = 2n - 2$ が与えられており、初項が $a_1 = 1$ である数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求める。

2. 解き方の手順

数列 $\{a_n\}$ の階差数列が $\{b_n\}$ であるとき、$n \ge 2$ で、

$$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$$

が成り立つ。

この問題では、$a_1 = 1$ であり、$b_n = 2n - 2$ であるから、

$$a_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k - 2)$$

$$= 1 + 2\sum_{k=1}^{n-1} k - 2\sum_{k=1}^{n-1} 1$$

$$= 1 + 2\frac{(n-1)n}{2} - 2(n-1)$$

$$= 1 + (n-1)n - 2(n-1)$$

$$= 1 + n^2 - n - 2n + 2$$

$$= n^2 - 3n + 3$$

これは $n \ge 2$ のとき成り立つ。$n = 1$ のとき、$a_1 = 1^2 - 3(1) + 3 = 1$ となり、与えられた初項の値と一致する。したがって、この式は $n = 1$ のときも成り立つ。

3. 最終的な答え

$a_n = n^2 - 3n + 3$