数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = 2^n + 3^n$ で表されるとき、一般項 $a_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = 2^n + 3^n$ で表されるとき、一般項 $a_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$n=1$ のとき、初項 $a_1$ は $S_1$ に等しいので、

$a_1 = S_1 = 2^1 + 3^1 = 2 + 3 = 5$

次に、$n \geq 2$ のとき、一般項 $a_n$ は $S_n$ と $S_{n-1}$ の差で表される。

すなわち、$a_n = S_n - S_{n-1}$ である。

$S_n = 2^n + 3^n$ であり、$S_{n-1} = 2^{n-1} + 3^{n-1}$ であるから、

\begin{align*}

a_n &= (2^n + 3^n) - (2^{n-1} + 3^{n-1}) \\

&= 2^n - 2^{n-1} + 3^n - 3^{n-1} \\

&= 2^{n-1}(2 - 1) + 3^{n-1}(3 - 1) \\

&= 2^{n-1} + 2 \cdot 3^{n-1}

\end{align*}

これは、$n \geq 2$ で成り立つ。

ここで、$n = 1$ のとき、 $a_1 = 2^{1-1} + 2 \cdot 3^{1-1} = 2^0 + 2 \cdot 3^0 = 1 + 2 = 3$ となる。

しかし、最初に求めた $a_1 = 5$ と一致しないため、$n=1$ の場合と $n \geq 2$ の場合を分けて記述する必要がある。

3. 最終的な答え

$a_1 = 5$

$a_n = 2^{n-1} + 2 \cdot 3^{n-1} \quad (n \geq 2)$