回路図が与えられ、A-B間の合成抵抗が $9 \Omega$ である。抵抗 $r$ の値を求める。配線の抵抗は無視できる。

1. 問題の内容

回路図が与えられ、A-B間の合成抵抗が $9 \Omega$ である。抵抗 $r$ の値を求める。配線の抵抗は無視できる。

2. 解き方の手順

まず、回路を簡略化する。回路は、12Ωと6Ωの並列回路と、rと36Ωの並列回路が、それぞれ11Ωと直列に繋がれていると見なせる。

12Ωと6Ωの並列回路の合成抵抗を$R_1$とおくと、

$\frac{1}{R_1} = \frac{1}{12} + \frac{1}{6} = \frac{1}{12} + \frac{2}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$

よって $R_1 = 4 \Omega$

rと36Ωの並列回路の合成抵抗を$R_2$とおくと、

$\frac{1}{R_2} = \frac{1}{r} + \frac{1}{36}$

したがって $R_2 = \frac{36r}{36+r}$

A-B間の合成抵抗は、$4 \Omega + 11 \Omega + R_2 + 11 \Omega = 9 \Omega$ であるため、

$4+11+\frac{36r}{36+r}+11 = 9$

$26+\frac{36r}{36+r} = 9$

$\frac{36r}{36+r} = 9-26 = -17$

$36r = -17(36+r) = -612-17r$

$36r+17r = -612$

$53r = -612$

$r = \frac{-612}{53}$

これは正しくない。

回路の合成抵抗は$9 \Omega$となっている。

したがって、並列回路を間違えている可能性がある。

図を見ると、Aから12Ω, 6Ω, 11Ωを通ってBに至るルートと、Aから11Ω, r, 36Ωを通ってBに至るルートが並列に接続されていると考えられる。

$R_A = 12+6+11+11 = 18+22 = 40$

$R_B = 11+r+36 = 47+r$

$\frac{1}{9} = \frac{1}{40} + \frac{1}{47+r}$

$\frac{1}{9}-\frac{1}{40} = \frac{1}{47+r}$

$\frac{40-9}{360} = \frac{31}{360} = \frac{1}{47+r}$

$31(47+r) = 360$

$1457+31r = 360$

$31r = 360-1457 = -1097$

これも正しくない。

A-B間の合成抵抗は、$9 \Omega$

$4+11+R_2+11 = 9$

$26+R_2 = 9$

$R_2 = -17$

これも正しくない。

Aからのルートは12Ω, 6Ωが並列で、それに11Ωが直列、さらに11Ωが直列。

Bからのルートはr, 36Ωが並列。

$R_{AB} = 9$

$\frac{1}{9} = \frac{1}{12 \parallel 6 + 11 + 11} + \frac{1}{r \parallel 36}$

$\frac{1}{9} = \frac{1}{4 + 22} + \frac{1}{\frac{36r}{36+r}}$

$\frac{1}{9} = \frac{1}{26} + \frac{36+r}{36r}$

$\frac{36+r}{36r} = \frac{1}{9}-\frac{1}{26} = \frac{26-9}{234} = \frac{17}{234}$

$234(36+r) = 17(36r)$

$8424+234r = 612r$

$8424 = 378r$

$r = \frac{8424}{378} = 22.312...$

一番近いのは18Ω。

3. 最終的な答え

2. 18.0Ω