図に示す回路のA-B間の合成抵抗が9Ωであるとき、抵抗 $r$ の値を求める問題です。ただし、配線の抵抗は無視できるものとします。

1. 問題の内容

図に示す回路のA-B間の合成抵抗が9Ωであるとき、抵抗 $r$ の値を求める問題です。ただし、配線の抵抗は無視できるものとします。

2. 解き方の手順

まず、回路を簡略化します。$r$ と $11\Omega$ の抵抗が並列に接続されており、その合成抵抗を $R_1$ とします。また、$12\Omega$ と $6\Omega$ の抵抗が並列に接続されており、その合成抵抗を $R_2$ とします。

並列抵抗の合成抵抗の公式は、

$\frac{1}{R} = \frac{1}{R_a} + \frac{1}{R_b}$

または

$R = \frac{R_a \cdot R_b}{R_a + R_b}$

で表されます。

$R_1$ は $r$ と $11\Omega$ の並列接続なので、

$R_1 = \frac{11r}{11 + r}$

$R_2$ は $12\Omega$ と $6\Omega$ の並列接続なので、

$R_2 = \frac{12 \times 6}{12 + 6} = \frac{72}{18} = 4\Omega$

次に、$R_1$ と $R_2$ と $36\Omega$ の抵抗が直列に接続されているので、A-B間の合成抵抗 $R_{AB}$ は、

$R_{AB} = R_1 + R_2 + 36$

問題文より、$R_{AB} = 9\Omega$ なので、

$9 = \frac{11r}{11 + r} + 4 + 36$

$\frac{11r}{11 + r} = 9 - 4 - 36 = -31$

$11r = -31(11 + r)$

$11r = -341 - 31r$

$42r = -341$

$r = -\frac{341}{42} \approx -8.12$

計算が間違っている可能性があるので、計算を見直します。

まず、$R_1$と$R_2$を計算するところまでは同じです。

次に、A-B間の合成抵抗の式を立てます。

$R_{AB} = R_1 + R_2 + 36 = \frac{11r}{11+r} + 4 + 36 = \frac{11r}{11+r} + 40 = 9$

よって、$\frac{11r}{11+r} = 9-40 = -31$

$11r = -31(11+r) = -341 -31r$

$42r = -341$

$r = \frac{-341}{42} \approx -8.1$

抵抗が負になることはないので、問題文か回路図に誤りがある可能性があります。

しかし、選択肢から近い値を探すことはできます。選択肢の値を$r$に代入して、合成抵抗が$9\Omega$に近いものを選びます。

選択肢1: $r = 7\Omega$

$R_1 = \frac{11\times7}{11+7} = \frac{77}{18} \approx 4.28\Omega$

$R_{AB} = 4.28 + 4 + 36 = 44.28\Omega$

選択肢2: $r = 18\Omega$

$R_1 = \frac{11\times18}{11+18} = \frac{198}{29} \approx 6.83\Omega$

$R_{AB} = 6.83 + 4 + 36 = 46.83\Omega$

選択肢3: $r = 25\Omega$

$R_1 = \frac{11\times25}{11+25} = \frac{275}{36} \approx 7.64\Omega$

$R_{AB} = 7.64 + 4 + 36 = 47.64\Omega$

選択肢4: $r = 3.6\Omega$

$R_1 = \frac{11\times3.6}{11+3.6} = \frac{39.6}{14.6} \approx 2.71\Omega$

$R_{AB} = 2.71 + 4 + 36 = 42.71\Omega$

どの選択肢でも合成抵抗が9Ωにならないため、問題設定に誤りがある可能性が高いです。

問題文に誤りがないと仮定して、考え方を変えてみます。

$r$ と $36\Omega$ の位置が逆ではないかと仮定すると以下のようになります。

$R_1 = \frac{36 \cdot 11}{36 + 11} = \frac{396}{47} \approx 8.43$

合成抵抗は $9\Omega$なので、 $R_2 = \frac{12 \times 6}{12+6}=4$として

$9 = r + R_1 + R_2 = r + 8.43+4 = r + 12.43$

$r = -3.43$となり、やはりマイナスになってしまいます。

3. 最終的な答え

問題文または回路図に誤りがある可能性があります。選択肢の中に正解は存在しないと思われます。