一次関数 $y = ax + 8$ （$a$ は定数、$a < 0$）において、$x$ の変域が $-1 \le x \le 2$ のとき、$y$ の変域が $b \le y \le 11$ である。このとき、$a$ と $b$ の値をそれぞれ求める。

1. 問題の内容

一次関数 $y = ax + 8$ （$a$ は定数、$a < 0$）において、$x$ の変域が $-1 \le x \le 2$ のとき、$y$ の変域が $b \le y \le 11$ である。このとき、$a$ と $b$ の値をそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

$a<0$であるから、$y=ax+8$は減少関数である。したがって、$x$ が最小値をとるとき、$y$ は最大値をとり、$x$ が最大値をとるとき、$y$ は最小値をとる。

よって、$x = -1$ のとき $y = 11$ であり、$x = 2$ のとき $y = b$ となる。

$x = -1$ を $y = ax + 8$ に代入すると、

$11 = a(-1) + 8$

$11 = -a + 8$

$a = 8 - 11$

$a = -3$

$x = 2$ を $y = ax + 8$ に代入すると、$a = -3$ なので、

$b = -3(2) + 8$

$b = -6 + 8$

$b = 2$

3. 最終的な答え

$a = -3$

$b = 2$