A-B間の合成抵抗が $6 \Omega$ である場合に、$r$ の抵抗値を求める問題です。回路はブリッジ回路の形をしています。

1. 問題の内容

A-B間の合成抵抗が $6 \Omega$ である場合に、$r$ の抵抗値を求める問題です。回路はブリッジ回路の形をしています。

2. 解き方の手順

ブリッジ回路の合成抵抗を求めるためには、まず回路をデルタ結線からスター結線に変換する必要があります。しかし、今回はA-B間の合成抵抗が $6\Omega$ であることが分かっているので、それを利用して解きます。

$7\Omega$ と $r$ の直列接続、および $5\Omega$ と $24\Omega$ の直列接続を考えます。

それぞれの直列接続の抵抗値を $R_1$ と $R_2$ とすると、

$R_1 = 7 + r$

$R_2 = 5 + 24 = 29$

次に、$R_1$ と $R_2$ の並列接続を考えます。並列接続の合成抵抗 $R_{AB}$ は、

$R_{AB} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{(7+r) \times 29}{(7+r) + 29} = \frac{29(7+r)}{36+r}$

問題文より、$R_{AB} = 6$ なので、

$6 = \frac{29(7+r)}{36+r}$

この方程式を解きます。

$6(36+r) = 29(7+r)$

$216 + 6r = 203 + 29r$

$29r - 6r = 216 - 203$

$23r = 13$

$r = \frac{13}{23}$

選択肢にないため、別の解き方を考えます。

ブリッジ回路が平衡状態であれば、 $7/5 = r/24$ が成り立つので、$r = (7/5)*24 = 33.6$ となりこれも選択肢にありません。

ここで、並列接続部分の合成抵抗を計算する際に間違っている可能性があるので、もう一度計算します。

$R_{AB} = \frac{(7+r) \times (5+15)}{7+r+5+15}=6$

$R_{AB} = \frac{20(7+r)}{27+r}=6$

$20(7+r) = 6(27+r)$

$140+20r = 162+6r$

$14r=22$

$r=22/14=11/7 = 1.57$

これも選択肢にない。

もう一度、問題文を読み直すと、左側の抵抗が $24\Omega$ ではなく、$15\Omega$ であることが判明しました。

そこで、$R_2=5+15=20$ として計算してみます。

$6=\frac{(7+r)20}{7+r+20}$

$6(27+r)=20(7+r)$

$162+6r=140+20r$

$22=14r$

$r=11/7$

再度、問題文を読み直すと、$24\Omega$であることがわかりました。

$6 = \frac{(7+r) \cdot 29}{7+r+29}$

$6(36+r) = 29(7+r)$

$216 + 6r = 203 + 29r$

$13 = 23r$

$r = \frac{13}{23}$

これは選択肢にない。

選択肢から考えてみましょう。

$r = 3$ のとき: $\frac{(7+3)29}{7+3+29} = \frac{10*29}{39} = \frac{290}{39} \approx 7.44$

$r = 6$ のとき: $\frac{(7+6)29}{7+6+29} = \frac{13*29}{42} = \frac{377}{42} \approx 8.98$

$r = 9$ のとき: $\frac{(7+9)29}{7+9+29} = \frac{16*29}{45} = \frac{464}{45} \approx 10.31$

$r = 12$ のとき: $\frac{(7+12)29}{7+12+29} = \frac{19*29}{48} = \frac{551}{48} \approx 11.48$

いずれの選択肢も $6\Omega$ に近い値にはなりません。

最後に、$5\Omega$ と $r\Omega$ の直列接続、$7\Omega$ と $24\Omega$ の直列接続として計算してみます。

$R_1=5+r$

$R_2=7+24=31$

$6=\frac{(5+r)31}{5+r+31}$

$6(36+r) = (5+r)31$

$216+6r=155+31r$

$61=25r$

$r=61/25=2.44$

3. 最終的な答え

いずれの選択肢も正しくないと考えられます。