三角形ABCにおいて、$\sin A : \sin B : \sin C = 3:5:7$ であるとき、この三角形の最も大きい角の大きさを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$\sin A : \sin B : \sin C = 3:5:7$ であるとき、この三角形の最も大きい角の大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

正弦定理より、三角形ABCの外接円の半径をRとすると、

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

したがって、

$\sin A = \frac{a}{2R}$, $\sin B = \frac{b}{2R}$, $\sin C = \frac{c}{2R}$

よって、

$a:b:c = \sin A : \sin B : \sin C = 3:5:7$

$a = 3k, b = 5k, c = 7k$ (kは正の定数)と表せる。

三角形の中で最も大きい角は、最も長い辺の対角である。よって、最も大きい角は角Cである。

余弦定理より、

$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

$\cos C = \frac{(3k)^2 + (5k)^2 - (7k)^2}{2(3k)(5k)}$

$\cos C = \frac{9k^2 + 25k^2 - 49k^2}{30k^2}$

$\cos C = \frac{-15k^2}{30k^2}$

$\cos C = -\frac{1}{2}$

したがって、$C = 120^\circ$

3. 最終的な答え

120°