不等式 $(x + y - 7)(x^2 - 2x - y + 1) > 0$ の表す領域を図示する問題です。

1. 問題の内容

不等式 $(x + y - 7)(x^2 - 2x - y + 1) > 0$ の表す領域を図示する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x, y) = x + y - 7$ および $g(x, y) = x^2 - 2x - y + 1$ とおきます。

不等式 $(x + y - 7)(x^2 - 2x - y + 1) > 0$ が成り立つのは、次の2つの場合です。

(1) $x + y - 7 > 0$ かつ $x^2 - 2x - y + 1 > 0$

(2) $x + y - 7 < 0$ かつ $x^2 - 2x - y + 1 < 0$

それぞれの場合について領域を考えます。

(1) の場合：

$x + y - 7 > 0$ は、$y > -x + 7$ を意味します。これは、直線 $y = -x + 7$ の上側の領域を表します。

$x^2 - 2x - y + 1 > 0$ は、$y < x^2 - 2x + 1$ を意味します。これは、$y < (x - 1)^2$ と書き換えられます。これは、放物線 $y = (x - 1)^2$ の下側の領域を表します。

したがって、(1)の場合は、直線 $y = -x + 7$ の上側かつ放物線 $y = (x - 1)^2$ の下側の領域です。

(2) の場合：

$x + y - 7 < 0$ は、$y < -x + 7$ を意味します。これは、直線 $y = -x + 7$ の下側の領域を表します。

$x^2 - 2x - y + 1 < 0$ は、$y > x^2 - 2x + 1$ を意味します。これは、$y > (x - 1)^2$ と書き換えられます。これは、放物線 $y = (x - 1)^2$ の上側の領域を表します。

したがって、(2)の場合は、直線 $y = -x + 7$ の下側かつ放物線 $y = (x - 1)^2$ の上側の領域です。

上記(1)と(2)の領域を合わせたものが、与えられた不等式の表す領域となります。

境界線 $y = -x + 7$ と $y = (x - 1)^2$ は含みません。

3. 最終的な答え

直線 $y = -x + 7$ の上側かつ放物線 $y = (x - 1)^2$ の下側の領域、および直線 $y = -x + 7$ の下側かつ放物線 $y = (x - 1)^2$ の上側の領域。境界線を含まない。