(1) 次の値を求めよ。 (i) $\log_{\frac{1}{2}}64$ (2) 次の式の値を求めよ。 (i) $3\log_2 \sqrt{6} + \log_4 \frac{1}{27}$

1. 問題の内容

(1) 次の値を求めよ。

(i) $\log_{\frac{1}{2}}64$

(2) 次の式の値を求めよ。

(i) $3\log_2 \sqrt{6} + \log_4 \frac{1}{27}$

2. 解き方の手順

(1) (i)

$\log_{\frac{1}{2}}64$を計算します。

$\log_{\frac{1}{2}}64 = x$とおくと、$(\frac{1}{2})^x = 64$となります。

$\frac{1}{2} = 2^{-1}$、 $64 = 2^6$なので、$2^{-x} = 2^6$、したがって $-x = 6$、 $x = -6$となります。

(2) (i)

$3\log_2 \sqrt{6} + \log_4 \frac{1}{27}$を計算します。

$\sqrt{6} = 6^{\frac{1}{2}}$なので、$3\log_2 \sqrt{6} = 3\log_2 6^{\frac{1}{2}} = \frac{3}{2} \log_2 6 = \frac{3}{2} (\log_2 2 + \log_2 3) = \frac{3}{2} (1 + \log_2 3)$

$\log_4 \frac{1}{27} = \log_{2^2} 27^{-1} = \log_{2^2} (3^3)^{-1} = \log_{2^2} 3^{-3} = -\frac{3}{2} \log_2 3$

したがって、$3\log_2 \sqrt{6} + \log_4 \frac{1}{27} = \frac{3}{2} (1 + \log_2 3) - \frac{3}{2} \log_2 3 = \frac{3}{2} + \frac{3}{2} \log_2 3 - \frac{3}{2} \log_2 3 = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

(1) (i) -6

(2) (i) $\frac{3}{2}$