与えられた2変数多項式 $x^2 - 3xy + 2y^2 - x + 5y - 12$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた2変数多項式 $x^2 - 3xy + 2y^2 - x + 5y - 12$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、$x$ について整理する。

$x^2 - (3y+1)x + (2y^2+5y-12)$

次に、$y$ のみの式 $2y^2+5y-12$ を因数分解する。

$2y^2+5y-12 = (2y-3)(y+4)$

したがって、与式は、

$x^2 - (3y+1)x + (2y-3)(y+4)$

となる。

次に、この式全体を因数分解する。

$(x + a)(x + b) = x^2 + (a+b)x + ab$の形を目指す。

$a+b = -(3y+1)$

$ab = (2y-3)(y+4)$

$x$ の係数と定数項から、$a$ と $b$ はそれぞれ $-(2y-3)$ と $-(y+4)$ の形をしていると推測できる。

$(x-(2y-3))(x-(y+4)) = x^2 - (2y-3+y+4)x + (2y-3)(y+4) = x^2 - (3y+1)x + (2y^2+8y-3y-12) = x^2 - (3y+1)x + (2y^2+5y-12)$

これは元の式と一致する。

したがって、因数分解の結果は、

$(x-2y+3)(x-y-4)$

3. 最終的な答え

$(x-2y+3)(x-y-4)$