問題は、次の数を小さい順に並べる問題です。 (1) $\sqrt[3]{2}, \sqrt[5]{4}, \sqrt[7]{8}$ (2) $2^{\frac{1}{2}}, 3^{\frac{1}{3}}, 6^{\frac{1}{6}}$ (3) $\log_2 15, \log_2 2^4$ (4) $2\log_{\frac{1}{2}} 3, \log_{\frac{1}{4}} 50$

はい、承知いたしました。問題文を丁寧に読み解き、解答を作成します。

1. 問題の内容

問題は、次の数を小さい順に並べる問題です。

(1) $\sqrt[3]{2}, \sqrt[5]{4}, \sqrt[7]{8}$

(2) $2^{\frac{1}{2}}, 3^{\frac{1}{3}}, 6^{\frac{1}{6}}$

(3) $\log_2 15, \log_2 2^4$

(4) $2\log_{\frac{1}{2}} 3, \log_{\frac{1}{4}} 50$

2. 解き方の手順

(1) 指数を揃えて比較します。

$\sqrt[3]{2} = 2^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{35}{105}}$

$\sqrt[5]{4} = 4^{\frac{1}{5}} = (2^2)^{\frac{1}{5}} = 2^{\frac{2}{5}} = 2^{\frac{42}{105}}$

$\sqrt[7]{8} = 8^{\frac{1}{7}} = (2^3)^{\frac{1}{7}} = 2^{\frac{3}{7}} = 2^{\frac{45}{105}}$

したがって、 $2^{\frac{35}{105}} < 2^{\frac{42}{105}} < 2^{\frac{45}{105}}$なので、$\sqrt[3]{2} < \sqrt[5]{4} < \sqrt[7]{8}$

(2) 指数を揃えて比較します。

$2^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{6}}$

$3^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{2}{6}}$

$6^{\frac{1}{6}}$

$2^{\frac{3}{6}} = (2^3)^{\frac{1}{6}} = 8^{\frac{1}{6}}$

$3^{\frac{2}{6}} = (3^2)^{\frac{1}{6}} = 9^{\frac{1}{6}}$

したがって、$6^{\frac{1}{6}} < 8^{\frac{1}{6}} < 9^{\frac{1}{6}}$ なので、$6^{\frac{1}{6}} < 2^{\frac{1}{2}} < 3^{\frac{1}{3}}$

(3) 対数の値を比較します。

$\log_2 15$

$\log_2 2^4 = \log_2 16 = 4$

$2^3 = 8 < 15 < 16 = 2^4$ なので、$3 < \log_2 15 < 4$

したがって、$\log_2 15 < \log_2 2^4$

(4) 対数の底を揃えて比較します。

$2\log_{\frac{1}{2}} 3 = \log_{\frac{1}{2}} 3^2 = \log_{\frac{1}{2}} 9$

$\log_{\frac{1}{4}} 50 = \log_{(\frac{1}{2})^2} 50 = \frac{1}{2} \log_{\frac{1}{2}} 50 = \log_{\frac{1}{2}} \sqrt{50}$

$\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2} \approx 5 \times 1.414 = 7.07$

$\log_{\frac{1}{2}} 9 < \log_{\frac{1}{2}} \sqrt{50}$なので、$2\log_{\frac{1}{2}} 3 > \log_{\frac{1}{4}} 50$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt[3]{2} < \sqrt[5]{4} < \sqrt[7]{8}$

(2) $6^{\frac{1}{6}} < 2^{\frac{1}{2}} < 3^{\frac{1}{3}}$

(3) $\log_2 15 < \log_2 2^4$

(4) $2\log_{\frac{1}{2}} 3 > \log_{\frac{1}{4}} 50$