与えられた式 $x^2 + xy - 2x - 3y - 3$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 + xy - 2x - 3y - 3$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、式を $x$ を含む項と含まない項に分けて整理します。

$x^2 + xy - 2x - 3y - 3 = x^2 + (y-2)x - (3y + 3)$

次に、この式を $x$ についての2次式と見て因数分解を試みます。

$x^2 + (y-2)x - 3(y + 1)$

積が $-3(y+1)$、和が $(y-2)$ となる2つの式を見つける必要があります。

$(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$ となる $a$ と $b$ を探します。

$a+b = y-2$

$ab = -3(y+1)$

$a = 3$ と $b = -y-1$ を考えてみます。このとき

$a+b = 3 + (-y-1) = 2-y$

$ab = 3(-y-1) = -3y-3 = -3(y+1)$

$a = 3$ と $b = -(y+1)$ では $a+b=y-2$ にならないので、違う組み合わせを考えます。

$a = 3$ と $b = -y-1$の場合、$a+b=3-(y+1)=2-y$ になるので、$y-2$ にするためには、$a = -3$ と $b = y+1$ であれば、$a+b=-3+y+1=y-2$、そして $ab = -3(y+1)$ が得られます。

したがって、

$x^2 + (y-2)x - 3(y + 1) = (x-3)(x+y+1)$

3. 最終的な答え

$(x-3)(x+y+1)$