与えられた4つの関数のグラフを描き、それぞれの定義域と値域を求める問題です。 (1) $y = \sqrt{x+2}$ (2) $y = \sqrt{2x-1}$ (3) $y = 3\sqrt{1-x}$ (4) $y = -\frac{1}{2}\sqrt{4-x}$

1. 問題の内容

与えられた4つの関数のグラフを描き、それぞれの定義域と値域を求める問題です。

(1) $y = \sqrt{x+2}$

(2) $y = \sqrt{2x-1}$

(3) $y = 3\sqrt{1-x}$

(4) $y = -\frac{1}{2}\sqrt{4-x}$

2. 解き方の手順

(1) $y = \sqrt{x+2}$

- 定義域: 根号の中身が0以上である必要があるため、$x+2 \geq 0$。したがって、$x \geq -2$。定義域は $x \geq -2$。

- 値域: 根号の関数は0以上の値をとるため、$y \geq 0$。値域は $y \geq 0$。

- グラフ: $y=\sqrt{x}$のグラフを$x$軸方向に$-2$だけ平行移動させたもの。

(2) $y = \sqrt{2x-1}$

- 定義域: 根号の中身が0以上である必要があるため、$2x-1 \geq 0$。したがって、$x \geq \frac{1}{2}$。定義域は $x \geq \frac{1}{2}$。

- 値域: 根号の関数は0以上の値をとるため、$y \geq 0$。値域は $y \geq 0$。

- グラフ: $y=\sqrt{x}$のグラフを$y$軸方向に$\frac{1}{\sqrt{2}}$倍に縮小し、$x$軸方向に$\frac{1}{2}$だけ平行移動させたもの。

(3) $y = 3\sqrt{1-x}$

- 定義域: 根号の中身が0以上である必要があるため、$1-x \geq 0$。したがって、$x \leq 1$。定義域は $x \leq 1$。

- 値域: 根号の関数は0以上の値をとるため、$y \geq 0$。値域は $y \geq 0$。

- グラフ: $y=\sqrt{x}$のグラフを$y$軸方向に3倍に拡大し、$y$軸に関して反転させ、$x$軸方向に1だけ平行移動させたもの。

(4) $y = -\frac{1}{2}\sqrt{4-x}$

- 定義域: 根号の中身が0以上である必要があるため、$4-x \geq 0$。したがって、$x \leq 4$。定義域は $x \leq 4$。

- 値域: 根号の関数は0以上の値をとるため、$-\frac{1}{2}\sqrt{4-x} \leq 0$。したがって、$y \leq 0$。値域は $y \leq 0$。

- グラフ: $y=\sqrt{x}$のグラフを$y$軸方向に$\frac{1}{2}$倍に縮小し、$x$軸に関して反転させ、$x$軸方向に4だけ平行移動させ、$x$軸に関して反転させたもの。

3. 最終的な答え

(1) $y = \sqrt{x+2}$

- 定義域: $x \geq -2$

- 値域: $y \geq 0$

(2) $y = \sqrt{2x-1}$

- 定義域: $x \geq \frac{1}{2}$

- 値域: $y \geq 0$

(3) $y = 3\sqrt{1-x}$

- 定義域: $x \leq 1$

- 値域: $y \geq 0$

(4) $y = -\frac{1}{2}\sqrt{4-x}$

- 定義域: $x \leq 4$

- 値域: $y \leq 0$