与えられた5つの代数方程式を解く問題です。 (1) $x^3 - 3x^2 = 0$ (2) $x^3 + 8 = 0$ (3) $x^4 - 2x^2 + 1 = 0$ (4) $x^3 - x^2 + x - 1 = 0$ (5) $x^3 + x^2 - 17x + 15 = 0$

1. 問題の内容

与えられた5つの代数方程式を解く問題です。

(1) $x^3 - 3x^2 = 0$

(2) $x^3 + 8 = 0$

(3) $x^4 - 2x^2 + 1 = 0$

(4) $x^3 - x^2 + x - 1 = 0$

(5) $x^3 + x^2 - 17x + 15 = 0$

2. 解き方の手順

(1) $x^3 - 3x^2 = 0$

$x^2$ でくくると

$x^2(x - 3) = 0$

よって、$x^2 = 0$ または $x - 3 = 0$

(2) $x^3 + 8 = 0$

$x^3 = -8$

$x^3 = (-2)^3$

よって、$x = -2$

または、$x^3 + 2^3 = 0$ より、因数分解すると

$(x+2)(x^2-2x+4) = 0$

$x = -2$ または $x^2 - 2x + 4 = 0$

$x^2 - 2x + 4 = 0$ を解の公式で解くと、

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4-16}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}i}{2} = 1 \pm \sqrt{3}i$

(3) $x^4 - 2x^2 + 1 = 0$

$(x^2 - 1)^2 = 0$

$x^2 - 1 = 0$

$(x - 1)(x + 1) = 0$

よって、$x = 1$ または $x = -1$ (重解)

(4) $x^3 - x^2 + x - 1 = 0$

$x^2(x - 1) + (x - 1) = 0$

$(x^2 + 1)(x - 1) = 0$

よって、$x - 1 = 0$ または $x^2 + 1 = 0$

$x = 1$ または $x^2 = -1$

$x = \pm i$

(5) $x^3 + x^2 - 17x + 15 = 0$

$x=1$ を代入すると、$1 + 1 - 17 + 15 = 0$ となるので、$x=1$ は解である。

したがって、$x-1$ を因数に持つ。

組み立て除法を用いると

$x^3 + x^2 - 17x + 15 = (x-1)(x^2 + 2x - 15) = 0$

$(x-1)(x+5)(x-3) = 0$

よって、$x=1, x=-5, x=3$

3. 最終的な答え

(1) $x=0, 3$

(2) $x = -2, 1 \pm \sqrt{3}i$

(3) $x = \pm 1$ (重解)

(4) $x = 1, \pm i$

(5) $x = 1, 3, -5$