(1) 不等式 $\frac{x+4}{2} < \frac{2x+7}{3}$ を満たす最小の整数 $x$ を求めよ。 (2) 不等式 $2x+a > 5(x-1)$ を満たす $x$ のうちで、最大の整数が4であるとき、定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

(1) 不等式 $\frac{x+4}{2} < \frac{2x+7}{3}$ を満たす最小の整数 $x$ を求めよ。

(2) 不等式 $2x+a > 5(x-1)$ を満たす $x$ のうちで、最大の整数が4であるとき、定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 不等式 $\frac{x+4}{2} < \frac{2x+7}{3}$ を解きます。

両辺に6をかけて分母を払います。

$3(x+4) < 2(2x+7)$

$3x+12 < 4x+14$

$3x - 4x < 14 - 12$

$-x < 2$

$x > -2$

$x$ は整数なので、最小の整数 $x$ は -1 です。

(2) 不等式 $2x+a > 5(x-1)$ を解きます。

$2x+a > 5x-5$

$2x-5x > -5-a$

$-3x > -5-a$

$3x < 5+a$

$x < \frac{5+a}{3}$

この不等式を満たす $x$ のうち最大の整数が4であるということなので、

$4 < \frac{5+a}{3} \le 5$ が成り立つ必要があります。

$4 < \frac{5+a}{3}$ より $12 < 5+a$ よって $a > 7$

$\frac{5+a}{3} \le 5$ より $5+a \le 15$ よって $a \le 10$

したがって $7 < a \le 10$

3. 最終的な答え

(1) -1

(2) $7 < a \le 10$