次の式を簡単にせよ。 $\tan(\theta + \frac{\pi}{4}) \tan(\theta - \frac{\pi}{4}) = ?$

1. 問題の内容

次の式を簡単にせよ。

$\tan(\theta + \frac{\pi}{4}) \tan(\theta - \frac{\pi}{4}) = ?$

2. 解き方の手順

まず、$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$ と $\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}$ を用いる。

この公式を使うと、

$\tan(\theta + \frac{\pi}{4}) = \frac{\tan \theta + \tan \frac{\pi}{4}}{1 - \tan \theta \tan \frac{\pi}{4}} = \frac{\tan \theta + 1}{1 - \tan \theta}$

$\tan(\theta - \frac{\pi}{4}) = \frac{\tan \theta - \tan \frac{\pi}{4}}{1 + \tan \theta \tan \frac{\pi}{4}} = \frac{\tan \theta - 1}{1 + \tan \theta}$

したがって、

$\tan(\theta + \frac{\pi}{4}) \tan(\theta - \frac{\pi}{4}) = \frac{\tan \theta + 1}{1 - \tan \theta} \cdot \frac{\tan \theta - 1}{1 + \tan \theta}$

$= \frac{\tan \theta + 1}{1 - \tan \theta} \cdot \frac{\tan \theta - 1}{1 + \tan \theta} = \frac{\tan \theta + 1}{\tan \theta + 1} \cdot \frac{\tan \theta - 1}{1 - \tan \theta}$

$= \frac{\tan \theta - 1}{1 - \tan \theta} = -1$

3. 最終的な答え

-1