与えられた二つの式を計算し、それぞれ $2$ の何乗になるかを求める問題です。 (1) $8^{\frac{2}{3}} \times 4^{\frac{3}{2}} = 2^{[1]}$ (2) $2^3 \times (\frac{1}{8})^2 \div (\frac{1}{4})^3 = 2^{[2]}$

1. 問題の内容

与えられた二つの式を計算し、それぞれ $2$ の何乗になるかを求める問題です。

(1) $8^{\frac{2}{3}} \times 4^{\frac{3}{2}} = 2^{[1]}$

(2) $2^3 \times (\frac{1}{8})^2 \div (\frac{1}{4})^3 = 2^{[2]}$

2. 解き方の手順

(1) $8^{\frac{2}{3}} \times 4^{\frac{3}{2}} = 2^{[1]}$

まず、$8$ と $4$ を $2$ の累乗で表します。

$8 = 2^3$

$4 = 2^2$

これらを元の式に代入します。

$(2^3)^{\frac{2}{3}} \times (2^2)^{\frac{3}{2}} = 2^{[1]}$

指数の法則 $(a^m)^n = a^{mn}$ を用いて計算します。

$2^{3 \times \frac{2}{3}} \times 2^{2 \times \frac{3}{2}} = 2^{[1]}$

$2^2 \times 2^3 = 2^{[1]}$

指数の法則 $a^m \times a^n = a^{m+n}$ を用いて計算します。

$2^{2+3} = 2^{[1]}$

$2^5 = 2^{[1]}$

したがって、$[1] = 5$ です。

(2) $2^3 \times (\frac{1}{8})^2 \div (\frac{1}{4})^3 = 2^{[2]}$

$\frac{1}{8}$ と $\frac{1}{4}$ を $2$ の累乗で表します。

$\frac{1}{8} = 2^{-3}$

$\frac{1}{4} = 2^{-2}$

これらを元の式に代入します。

$2^3 \times (2^{-3})^2 \div (2^{-2})^3 = 2^{[2]}$

指数の法則 $(a^m)^n = a^{mn}$ を用いて計算します。

$2^3 \times 2^{-6} \div 2^{-6} = 2^{[2]}$

指数の法則 $a^m \div a^n = a^{m-n}$ を用いて計算します。

$2^3 \times 2^{-6} \div 2^{-6} = 2^3 \times 2^{-6-(-6)} = 2^3 \times 2^0 = 2^{[2]}$

指数の法則 $a^m \times a^n = a^{m+n}$ を用いて計算します。

$2^{3+0} = 2^{[2]}$

$2^3 = 2^{[2]}$

したがって、$[2] = 3$ です。

3. 最終的な答え

(1) 5

(2) 3