$a$ は正の定数とする。2次関数 $y = 2x^2 - 8x + 9$ ($0 \le x \le a$) の最大値とそのときの $x$ の値を次の各場合についてそれぞれ求めよ。 (1) $0 < a < 4$ (2) $a = 4$ (3) $4 < a$

1. 問題の内容

$a$ は正の定数とする。2次関数 $y = 2x^2 - 8x + 9$ ($0 \le x \le a$) の最大値とそのときの $x$ の値を次の各場合についてそれぞれ求めよ。

(1) $0 < a < 4$

(2) $a = 4$

(3) $4 < a$

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数 $y = 2x^2 - 8x + 9$ を平方完成する。

$y = 2(x^2 - 4x) + 9$

$y = 2(x^2 - 4x + 4 - 4) + 9$

$y = 2(x - 2)^2 - 8 + 9$

$y = 2(x - 2)^2 + 1$

この2次関数のグラフは、下に凸の放物線であり、頂点の座標は $(2, 1)$ である。軸は $x = 2$ である。

(1) $0 < a < 4$ のとき

定義域 $0 \le x \le a$ において、軸 $x = 2$ が含まれている。

$x = 0$ のとき、$y = 2(0-2)^2 + 1 = 2(4) + 1 = 9$

$x = a$ のとき、$y = 2(a-2)^2 + 1$

$0 < a < 4$ であるから、$x=0$ が定義域の端点の中で軸から最も遠い。したがって、$x=0$ で最大値をとる。

最大値は $y = 9$

したがって、 $x=0$ のとき最大値 $9$ をとる。

(2) $a = 4$ のとき

定義域 $0 \le x \le 4$ において、軸 $x = 2$ が含まれている。

$x = 0$ のとき、$y = 2(0-2)^2 + 1 = 9$

$x = 4$ のとき、$y = 2(4-2)^2 + 1 = 2(4) + 1 = 9$

したがって、$x=0$ と $x=4$ で最大値をとる。

最大値は $y = 9$

したがって、 $x=0, 4$ のとき最大値 $9$ をとる。

(3) $4 < a$ のとき

定義域 $0 \le x \le a$ において、軸 $x = 2$ が含まれている。

$x = 0$ のとき、$y = 2(0-2)^2 + 1 = 9$

$x = a$ のとき、$y = 2(a-2)^2 + 1$

$4 < a$ であるから、$a > 0$ であり、$x=a$ が定義域の端点の中で軸から最も遠い。したがって、$x=a$ で最大値をとる。

最大値は $2(a-2)^2 + 1 = 2(a^2 - 4a + 4) + 1 = 2a^2 - 8a + 8 + 1 = 2a^2 - 8a + 9$

したがって、 $x=a$ のとき最大値 $2a^2 - 8a + 9$ をとる。

3. 最終的な答え

(1) $x = 0$ のとき最大値 $9$

(2) $x = 0, 4$ のとき最大値 $9$

(3) $x = a$ のとき最大値 $2a^2 - 8a + 9$