(1) 2次方程式 $-x^2 + 4x + 1 = 0$ を解け。 (2) 2次方程式 $4x^2 + 8x + m + 1 = 0$ が実数解をもたないように、定数 $m$ の値の範囲を定めよ。

1. 問題の内容

(1) 2次方程式 $-x^2 + 4x + 1 = 0$ を解け。

(2) 2次方程式 $4x^2 + 8x + m + 1 = 0$ が実数解をもたないように、定数 $m$ の値の範囲を定めよ。

2. 解き方の手順

(1) 2次方程式 $-x^2 + 4x + 1 = 0$ を解く。まず、両辺に -1 を掛けて $x^2 - 4x - 1 = 0$ とする。

解の公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ を用いると、

$x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}$

(2) 2次方程式 $4x^2 + 8x + m + 1 = 0$ が実数解をもたない条件は、判別式 $D$ が $D < 0$ であること。

$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4(4)(m+1) = 64 - 16(m+1) = 64 - 16m - 16 = 48 - 16m$

$48 - 16m < 0$

$16m > 48$

$m > 3$

3. 最終的な答え

(1) $x = 2 \pm \sqrt{5}$

(2) $m > 3$