$|a| < 1$, $|b| < 1$ のとき、不等式 $ab + 1 > a + b$ を証明する。

1. 問題の内容

$|a| < 1$, $|b| < 1$ のとき、不等式 $ab + 1 > a + b$ を証明する。

2. 解き方の手順

不等式の左辺から右辺を引いたものが正であることを示す。

すなわち、$ab + 1 - (a + b) > 0$ を示す。

$ab + 1 - a - b = ab - a - b + 1$

$= a(b - 1) - (b - 1)$

$= (a - 1)(b - 1)$

$|a| < 1$ より、$a - 1 < 0$

$|b| < 1$ より、$b - 1 < 0$

したがって、$(a - 1)(b - 1) > 0$

ゆえに、$ab + 1 - (a + b) > 0$

よって、$ab + 1 > a + b$

3. 最終的な答え

$ab + 1 > a + b$