$|a| < 1$, $|b| < 1$, $|c| < 1$ のとき、次の不等式を証明する問題です。 (1) $ab + 1 > a + b$ (2) $abc + 2 > a + b + c$

1. 問題の内容

$|a| < 1$, $|b| < 1$, $|c| < 1$ のとき、次の不等式を証明する問題です。

(1) $ab + 1 > a + b$

(2) $abc + 2 > a + b + c$

2. 解き方の手順

(1) $ab + 1 > a + b$ の証明

左辺から右辺を引いた差を計算します。

$ab + 1 - (a + b) = ab + 1 - a - b = a(b - 1) - (b - 1) = (a - 1)(b - 1)$

$|a| < 1$ より $a - 1 < 0$

$|b| < 1$ より $b - 1 < 0$

したがって、 $(a - 1)(b - 1) > 0$ となります。

よって、 $ab + 1 > a + b$ が成立します。

(2) $abc + 2 > a + b + c$ の証明

画像に途中までしか書かれていないため、詳細な手順を示すことが難しいです。

しかし、(1)と同様に左辺から右辺を引いた差を計算し、$abc + 2 - (a + b + c)$ が正となることを示すのが基本的な方針です。

画像の記述には「(1)から」とあるため、(1)の結果を何らかの形で利用することが考えられます。例えば、$ab + 1 > a + b$ の両辺に $c$ を掛ける、あるいは $abc + 1 > ac + bc$ を導くなどの操作が考えられます。

3. 最終的な答え

(1) $ab + 1 > a + b$ は証明されました。

(2) $abc + 2 > a + b + c$ の証明は途中までです。

詳細な手順を補完する必要があります。