平行四辺形ABCDがあり、点Eは辺AD上にあり、AE:ED = 2:1である。点FはACとBEの交点である。 (1) 平行四辺形ABCDの面積が$30 cm^2$のとき、三角形ABEの面積を求める。 (2) AF:FCの比を最も簡単な整数の比で表す。

## 問題2

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDがあり、点Eは辺AD上にあり、AE:ED = 2:1である。点FはACとBEの交点である。

(1) 平行四辺形ABCDの面積が$30 cm^2$のとき、三角形ABEの面積を求める。

(2) AF:FCの比を最も簡単な整数の比で表す。

2. 解き方の手順

(1) 平行四辺形ABCDの面積をSとすると、$S = 30 cm^2$である。

三角形ABEの面積を$S_{ABE}$とすると、$S_{ABE} = \frac{AE}{AD} \times \frac{1}{2} S$と表せる。

AE:ED = 2:1より、$AE = \frac{2}{3}AD$だから、$\frac{AE}{AD} = \frac{2}{3}$である。

したがって、$S_{ABE} = \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} \times 30 = 10 cm^2$となる。

(2) $\triangle AEF$と$\triangle CBF$について、$AE // BC$より、錯角が等しいので、$\angle EAF = \angle BCF$、$\angle AEF = \angle CBF$が成り立つ。

よって、$\triangle AEF \sim \triangle CBF$である。

$AE:BC = AE:AD = 2:3$より、$\triangle AEF$と$\triangle CBF$の相似比は2:3となる。

したがって、$AF:FC = 2:3$となる。

3. 最終的な答え

(1) $10 cm^2$

(2) 2:3

## 問題3

1. 問題の内容

三角形ABCとその外接円Oがあり、$a=2$である。$c$と外接円の半径Rを求める。

2. 解き方の手順

三角形の内角の和は180度なので、$\angle B = 75^\circ$、$\angle C = 60^\circ$より、$\angle A = 180^\circ - 75^\circ - 60^\circ = 45^\circ$となる。

正弦定理より、$\frac{a}{\sin A} = 2R$だから、

$2R = \frac{2}{\sin 45^\circ} = \frac{2}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = 2\sqrt{2}$

したがって、$R = \sqrt{2}$となる。

$\frac{c}{\sin C} = 2R$より、$c = 2R \sin C = 2\sqrt{2} \sin 60^\circ = 2\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{6}$となる。

3. 最終的な答え

$c = \sqrt{6}$

$R = \sqrt{2}$