与えられた等式 ${}_8C_4 = {}_6C_2 + 2\cdot{}_6C_3 + {}_6C_4$ を証明します。

1. 問題の内容

与えられた等式 ${}_8C_4 = {}_6C_2 + 2\cdot{}_6C_3 + {}_6C_4$ を証明します。

2. 解き方の手順

まず、各項の組み合わせの値を計算します。組み合わせの公式は ${}_nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ です。

${}_8C_4 = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$

${}_6C_2 = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

${}_6C_3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

${}_6C_4 = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

これらの値を等式の右辺に代入します。

${}_6C_2 + 2\cdot{}_6C_3 + {}_6C_4 = 15 + 2 \times 20 + 15 = 15 + 40 + 15 = 70$

したがって、等式の左辺と右辺は等しくなります。

3. 最終的な答え

${}_8C_4 = 70$

${}_6C_2 + 2\cdot{}_6C_3 + {}_6C_4 = 70$

よって、${}_8C_4 = {}_6C_2 + 2\cdot{}_6C_3 + {}_6C_4$ が証明されました。