60のすべての正の約数の積が $60^n$ の形で表されるとき、$n$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

60のすべての正の約数の積が $60^n$ の形で表されるとき、$n$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、60の正の約数をすべて求めます。

60を素因数分解すると $60 = 2^2 \times 3 \times 5$ となります。

したがって、60の約数は、

1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 の12個です。

次に、これらの約数の積を求めます。

積 = $1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 10 \times 12 \times 15 \times 20 \times 30 \times 60$

= $60^n$

約数の積を求める別の方法として、ある数 $N$ の約数の個数を $d(N)$ とすると、約数の積は $N^{d(N)/2}$ で求められます。

60の約数の個数は $(2+1) \times (1+1) \times (1+1) = 3 \times 2 \times 2 = 12$ です。

したがって、60の約数の積は $60^{12/2} = 60^6$ となります。

よって、$60^n = 60^6$ なので、$n = 6$ となります。

3. 最終的な答え

n = 6