分数 $9/41$ を小数で表したとき、小数第100位の数字を求めよ。

1. 問題の内容

分数 $9/41$ を小数で表したとき、小数第100位の数字を求めよ。

2. 解き方の手順

分数 $9/41$ を小数で表す。

$9/41$ を計算すると、循環小数になる。

循環小数の循環節を求める。

循環節の長さを求める。

小数第100位の数字が循環節の何番目の数字になるかを計算する。

$100 \div$ (循環節の長さ) の余りを求める。

余りが0の場合は循環節の最後の数字、余りが$n$の場合は循環節の$n$番目の数字が、小数第100位の数字になる。

まず、 $9/41$ を筆算で計算して小数表示を求める。

$9/41 = 0.21951219512195...$

したがって、 $9/41 = 0.\overline{219512}$ である。

循環節は $219512$ であり、循環節の長さは6である。

小数第100位を求めるために、$100$ を $6$ で割った余りを計算する。

$100 = 6 \times 16 + 4$

余りは4なので、小数第100位の数字は循環節の4番目の数字となる。

循環節 $219512$ の4番目の数字は $5$ である。

3. 最終的な答え

5