$\sqrt{540 - 20n}$ が整数となるような自然数 $n$ の値を全て求める問題です。

1. 問題の内容

$\sqrt{540 - 20n}$ が整数となるような自然数 $n$ の値を全て求める問題です。

2. 解き方の手順

$\sqrt{540 - 20n}$ が整数となるためには、$540 - 20n$ が0以上の平方数である必要があります。つまり、$540 - 20n = k^2$ ($k$は0以上の整数)と表せます。

$540 - 20n = k^2$

$20n = 540 - k^2$

$n = \frac{540 - k^2}{20} = 27 - \frac{k^2}{20}$

$n$ が自然数であるためには、$\frac{k^2}{20}$ が整数でなければなりません。したがって、$k^2$は20の倍数である必要があります。また、$k^2 \leq 540$ でなければなりません。

$k^2$ が20の倍数であるためには、$k^2$ は $2^2$ と $5$ を因数に持つ必要があります。 したがって、$k$ は $2$ と $5$ を因数に持つ必要があり、$k$ は $10$ の倍数です。

$k = 10m$ (mは0以上の整数)とおくと、

$k^2 = 100m^2$ となります。

$n = 27 - \frac{100m^2}{20} = 27 - 5m^2$

$n$ は自然数なので、$27 - 5m^2 > 0$ でなければなりません。

$5m^2 < 27$

$m^2 < \frac{27}{5} = 5.4$

したがって、$m$ は 0, 1, 2 のいずれかの整数です。

$m = 0$ のとき、 $n = 27 - 5(0)^2 = 27$

$m = 1$ のとき、 $n = 27 - 5(1)^2 = 22$

$m = 2$ のとき、 $n = 27 - 5(2)^2 = 27 - 20 = 7$

3. 最終的な答え

$n = 7, 22, 27$