$\sqrt{540 - 20n}$ が整数となるような自然数 $n$ の値を全て求める問題です。

数論平方根整数の性質因数分解自然数
2025/4/27

1. 問題の内容

54020n\sqrt{540 - 20n} が整数となるような自然数 nn の値を全て求める問題です。

2. 解き方の手順

54020n\sqrt{540 - 20n} が整数となるためには、54020n540 - 20n が0以上の平方数である必要があります。つまり、54020n=k2540 - 20n = k^2 (kkは0以上の整数)と表せます。
54020n=k2540 - 20n = k^2
20n=540k220n = 540 - k^2
n=540k220=27k220n = \frac{540 - k^2}{20} = 27 - \frac{k^2}{20}
nn が自然数であるためには、k220\frac{k^2}{20} が整数でなければなりません。したがって、k2k^2は20の倍数である必要があります。また、k2540k^2 \leq 540 でなければなりません。
k2k^2 が20の倍数であるためには、k2k^2222^255 を因数に持つ必要があります。 したがって、kk2255 を因数に持つ必要があり、kk1010 の倍数です。
k=10mk = 10m (mは0以上の整数)とおくと、
k2=100m2k^2 = 100m^2 となります。
n=27100m220=275m2n = 27 - \frac{100m^2}{20} = 27 - 5m^2
nn は自然数なので、275m2>027 - 5m^2 > 0 でなければなりません。
5m2<275m^2 < 27
m2<275=5.4m^2 < \frac{27}{5} = 5.4
したがって、mm は 0, 1, 2 のいずれかの整数です。
m=0m = 0 のとき、 n=275(0)2=27n = 27 - 5(0)^2 = 27
m=1m = 1 のとき、 n=275(1)2=22n = 27 - 5(1)^2 = 22
m=2m = 2 のとき、 n=275(2)2=2720=7n = 27 - 5(2)^2 = 27 - 20 = 7

3. 最終的な答え

n=7,22,27n = 7, 22, 27

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