6で割ると4余り、7で割ると5余る3桁の自然数のうち、最小のものを求めます。

1. 問題の内容

6で割ると4余り、7で割ると5余る3桁の自然数のうち、最小のものを求めます。

2. 解き方の手順

求める数を $x$ とします。問題文より、以下の2つの式が成り立ちます。

$x \equiv 4 \pmod{6}$

$x \equiv 5 \pmod{7}$

最初の式から、$x = 6k + 4$ ($k$は整数)と表せます。これを2番目の式に代入します。

$6k + 4 \equiv 5 \pmod{7}$

$6k \equiv 1 \pmod{7}$

$6k$に$7$の倍数を加えて、$7$で割って$1$余る数を見つけます。

$6k$に$1$を代入すると、$6 \equiv 6 \pmod{7}$

$6k$に$2$を代入すると、$12 \equiv 5 \pmod{7}$

$6k$に$3$を代入すると、$18 \equiv 4 \pmod{7}$

$6k$に$4$を代入すると、$24 \equiv 3 \pmod{7}$

$6k$に$5$を代入すると、$30 \equiv 2 \pmod{7}$

$6k$に$6$を代入すると、$36 \equiv 1 \pmod{7}$

よって、$k \equiv 6 \pmod{7}$

$k=7l+6$ ($l$は整数)と表せます。これを$x=6k+4$に代入します。

$x = 6(7l+6)+4$

$x = 42l + 36 + 4$

$x = 42l + 40$

求める$x$は3桁の最小の自然数なので、$x \ge 100$となる最小の$l$を求めます。

$42l + 40 \ge 100$

$42l \ge 60$

$l \ge \frac{60}{42} = \frac{10}{7} \approx 1.43$

したがって、$l=2$のとき、$x$は最小の3桁の自然数となります。

$x = 42(2) + 40 = 84 + 40 = 124$

3. 最終的な答え

124