整数 $a, b, c$ が $a^2 + b^2 = c^2$ を満たすとき、$a, b, c$ のうち少なくとも1つは偶数であることを証明します。

1. 問題の内容

整数 $a, b, c$ が $a^2 + b^2 = c^2$ を満たすとき、$a, b, c$ のうち少なくとも1つは偶数であることを証明します。

2. 解き方の手順

背理法を用いて証明します。つまり、$a, b, c$ がすべて奇数であると仮定して矛盾を導きます。

$a, b, c$ がすべて奇数であると仮定すると、ある整数 $k, l, m$ を用いて、

$a = 2k + 1$

$b = 2l + 1$

$c = 2m + 1$

と表すことができます。

これを $a^2 + b^2 = c^2$ に代入すると、

$(2k + 1)^2 + (2l + 1)^2 = (2m + 1)^2$

$4k^2 + 4k + 1 + 4l^2 + 4l + 1 = 4m^2 + 4m + 1$

$4k^2 + 4k + 4l^2 + 4l + 2 = 4m^2 + 4m + 1$

$4k^2 + 4k + 4l^2 + 4l - 4m^2 - 4m = -1$

$4(k^2 + k + l^2 + l - m^2 - m) = -1$

ここで、$k^2 + k + l^2 + l - m^2 - m$ は整数なので、左辺は4の倍数となります。しかし、右辺は-1なので4の倍数ではありません。これは矛盾です。

したがって、$a, b, c$ がすべて奇数であるという仮定は誤りであり、$a, b, c$ のうち少なくとも1つは偶数でなければなりません。

3. 最終的な答え

$a^2 + b^2 = c^2$ を満たす整数 $a, b, c$ のうち、少なくとも1つは偶数である。