1から1000までの整数の中で、以下の条件を満たすものの個数をそれぞれ求める問題です。 (1) 2でも3でも割り切れる数 (2) 3でも5でも割り切れる数 (3) 5でも2でも割り切れる数 (4) 2でも3でも5でも割り切れる数 (5) 2,3,5のうち少なくとも1つで割り切れる数 (6) 2,3のうち少なくとも1つで割り切れて、5で割り切れる数

1. 問題の内容

1から1000までの整数の中で、以下の条件を満たすものの個数をそれぞれ求める問題です。

(1) 2でも3でも割り切れる数

(2) 3でも5でも割り切れる数

(3) 5でも2でも割り切れる数

(4) 2でも3でも5でも割り切れる数

(5) 2,3,5のうち少なくとも1つで割り切れる数

(6) 2,3のうち少なくとも1つで割り切れて、5で割り切れる数

2. 解き方の手順

(1) 2でも3でも割り切れる数：2と3の最小公倍数である6で割り切れる数を数えます。$1000 \div 6 = 166.66...$なので、166個です。

(2) 3でも5でも割り切れる数：3と5の最小公倍数である15で割り切れる数を数えます。$1000 \div 15 = 66.66...$なので、66個です。

(3) 5でも2でも割り切れる数：2と5の最小公倍数である10で割り切れる数を数えます。$1000 \div 10 = 100$なので、100個です。

(4) 2でも3でも5でも割り切れる数：2,3,5の最小公倍数である30で割り切れる数を数えます。$1000 \div 30 = 33.33...$なので、33個です。

(5) 2,3,5のうち少なくとも1つで割り切れる数：包除原理を使います。

2で割り切れる数：$1000 \div 2 = 500$個

3で割り切れる数：$1000 \div 3 = 333.33...$ よって333個

5で割り切れる数：$1000 \div 5 = 200$個

2と3で割り切れる数（6で割り切れる数）：$1000 \div 6 = 166.66...$ よって166個

2と5で割り切れる数（10で割り切れる数）：$1000 \div 10 = 100$個

3と5で割り切れる数（15で割り切れる数）：$1000 \div 15 = 66.66...$ よって66個

2と3と5で割り切れる数（30で割り切れる数）：$1000 \div 30 = 33.33...$ よって33個

求める個数は $500 + 333 + 200 - 166 - 100 - 66 + 33 = 734$個

(6) 2,3のうち少なくとも1つで割り切れて、5で割り切れる数：

2または3で割り切れる数は、2で割り切れる数と3で割り切れる数を足して、2と3両方で割り切れる数を引きます。

2で割り切れる数：500

3で割り切れる数：333

6で割り切れる数：166

2または3で割り切れる数：$500+333-166 = 667$

2,3のうち少なくとも1つで割り切れて、5で割り切れる数、つまり、5で割り切れ、かつ(2または3)で割り切れる数。これは、10で割り切れる数と15で割り切れる数を足して、30で割り切れる数を引けば良い。

10で割り切れる数：100

15で割り切れる数：66

30で割り切れる数：33

求める個数は $100 + 66 - 33 = 133$ 個

3. 最終的な答え

(1) 166個

(2) 66個

(3) 100個

(4) 33個

(5) 734個

(6) 133個