正の奇数の列を、第n群にn個の奇数が含まれるように群に分ける。 (1) 第n群の最初の奇数を求める。 (2) 第n群に含まれるすべての奇数の和を求める。

1. 問題の内容

正の奇数の列を、第n群にn個の奇数が含まれるように群に分ける。

(1) 第n群の最初の奇数を求める。

(2) 第n群に含まれるすべての奇数の和を求める。

2. 解き方の手順

(1) 第n群の最初の奇数を求める。

まず、第n群の最初の奇数が、全体の奇数列の中で何番目かを考える。第n群の前の群までに含まれる奇数の個数は、1からn-1までの和である。したがって、第n群の最初の奇数は、

$1 + 2 + 3 + ... + (n-1) = \frac{n(n-1)}{2}$

番目の次の奇数なので、$\frac{n(n-1)}{2} + 1$番目の奇数である。

奇数列のk番目の奇数は$2k - 1$であるから、第n群の最初の奇数は、

$2(\frac{n(n-1)}{2} + 1) - 1 = n(n-1) + 2 - 1 = n^2 - n + 1$

(2) 第n群に含まれるすべての奇数の和を求める。

第n群にはn個の奇数が含まれる。第n群の最初の奇数は$n^2 - n + 1$である。

第n群の奇数は、初項$n^2 - n + 1$, 公差2, 項数nの等差数列である。

等差数列の和の公式は、$\frac{n}{2}(2a + (n-1)d)$ である。

したがって、第n群に含まれるすべての奇数の和は、

$\frac{n}{2}(2(n^2 - n + 1) + (n-1)2) = \frac{n}{2}(2n^2 - 2n + 2 + 2n - 2) = \frac{n}{2}(2n^2) = n^3$

3. 最終的な答え

(1) 第n群の最初の奇数: $n^2 - n + 1$

(2) 第n群に含まれるすべての奇数の和: $n^3$