数列 $\{c_n\}$ が与えられており、この数列を群に分けます。第 $m$ 群は $m$ 個の項を含みます。第 $m$ 群の第 $k$ 番目の項は $\frac{2k-1}{2m}$ で表されます。問題は、第5群の2番目の項を求め、値が $\frac{5}{12}$ である項が初めて現れるのが何群の何番目か、また、数列全体の何番目かを求め、最後に第 $m$ 群に含まれる項の総和 $S_m$ を求めるものです。

1. 問題の内容

数列 $\{c_n\}$ が与えられており、この数列を群に分けます。第 $m$ 群は $m$ 個の項を含みます。第 $m$ 群の第 $k$ 番目の項は $\frac{2k-1}{2m}$ で表されます。問題は、第5群の2番目の項を求め、値が $\frac{5}{12}$ である項が初めて現れるのが何群の何番目か、また、数列全体の何番目かを求め、最後に第 $m$ 群に含まれる項の総和 $S_m$ を求めるものです。

2. 解き方の手順

(1) 第5群の2番目の項を求めるには、$m = 5$, $k = 2$ を $\frac{2k-1}{2m}$ に代入します。

$\frac{2 \cdot 2 - 1}{2 \cdot 5} = \frac{3}{10}$

次に、$\frac{2k-1}{2m} = \frac{5}{12}$ を満たす $m, k$ を探します。

$12(2k-1) = 10m$

$6(2k-1) = 5m$

$12k - 6 = 5m$

$12k = 5m + 6$

$m=6$ のとき、$12k = 30 + 6 = 36$ なので、$k=3$。

したがって、第6群の3番目の項が $\frac{5}{12}$ です。

第 $n$ 群には $n$ 個の項があるため、第5群までの項の総数は $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$ です。

したがって、第6群の3番目の項は、数列 $\{c_n\}$ の $15 + 3 = 18$ 番目の項です。

(2) 第 $m$ 群に含まれるすべての項の和 $S_m$ を求めます。第 $m$ 群の $k$ 番目の項は $\frac{2k-1}{2m}$ で表されるので、

$S_m = \sum_{k=1}^{m} \frac{2k-1}{2m} = \frac{1}{2m} \sum_{k=1}^{m} (2k-1)$

$\sum_{k=1}^{m} (2k-1) = 2 \sum_{k=1}^{m} k - \sum_{k=1}^{m} 1 = 2 \cdot \frac{m(m+1)}{2} - m = m(m+1) - m = m^2$

$S_m = \frac{1}{2m} \cdot m^2 = \frac{m}{2}$

3. 最終的な答え

(1) コ: 3/10, サシ: 5/12, ス: 6, セ: 3, ソタ: 18

(2) チ: $\frac{m}{2}$ (選択肢 ①)