以下の3つの条件を満たす$a$と$b$の組み合わせをそれぞれ一つ見つける。 (1) $a, b$は自然数で、$a-b$と$\frac{a}{b}$のいずれも自然数ではない。 (2) $a, b$は整数で、$\frac{a}{b}$が整数ではない。 (3) $a, b$は異なる無理数で、$ab$が有理数である。

1. 問題の内容

以下の3つの条件を満たす$a$と$b$の組み合わせをそれぞれ一つ見つける。

(1) $a, b$は自然数で、$a-b$と$\frac{a}{b}$のいずれも自然数ではない。

(2) $a, b$は整数で、$\frac{a}{b}$が整数ではない。

(3) $a, b$は異なる無理数で、$ab$が有理数である。

2. 解き方の手順

(1) $a, b$が自然数という条件から、$a-b$が自然数でないというのは、$a \le b$または$a-b$が自然数でないということ。$\frac{a}{b}$が自然数でないというのは、$b$が$a$の約数でないということ。

例えば、$a=2, b=3$とすると、$a-b = 2-3 = -1$は自然数でなく、$\frac{a}{b} = \frac{2}{3}$も自然数でない。

(2) $a, b$が整数という条件から、$\frac{a}{b}$が整数でない例を考えれば良い。

例えば、$a=1, b=2$とすると、$\frac{a}{b} = \frac{1}{2}$は整数ではない。

(3) $a, b$が異なる無理数で、$ab$が有理数となる例を考える。

$a = \sqrt{2}, b = 2\sqrt{2}$とすると、$a$と$b$は異なる無理数であり、$ab = \sqrt{2} \times 2\sqrt{2} = 2 \times 2 = 4$は有理数である。

3. 最終的な答え

(1) $a=2, b=3$

(2) $a=1, b=2$

(3) $a = \sqrt{2}, b = 2\sqrt{2}$