実数全体の集合を全体集合 $U$ とし、$U$ の部分集合 $A$ を $A = \{x | x\sqrt{2} \text{は有理数}\}$ と定める。 このとき、$x \in A$ である有理数 $x$ がいくつ存在するか、また、$x \in A$ である無理数 $x$ がいくつ存在するかを答える。選択肢は、0:存在しない、1:一つだけ存在する、2:二つだけ存在する、3:三つ以上存在する、である。

1. 問題の内容

実数全体の集合を全体集合 $U$ とし、$U$ の部分集合 $A$ を $A = \{x | x\sqrt{2} \text{は有理数}\}$ と定める。

このとき、$x \in A$ である有理数 $x$ がいくつ存在するか、また、$x \in A$ である無理数 $x$ がいくつ存在するかを答える。選択肢は、0:存在しない、1:一つだけ存在する、2:二つだけ存在する、3:三つ以上存在する、である。

2. 解き方の手順

$x \in A$ であるとは、$x\sqrt{2}$ が有理数であるということである。

(1) $x$ が有理数の場合：

$x = 0$ のとき、$x\sqrt{2} = 0 \cdot \sqrt{2} = 0$ となり、これは有理数である。

$x = 1$ のとき、$x\sqrt{2} = 1 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}$ となり、これは無理数である。

$x = 2$ のとき、$x\sqrt{2} = 2 \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ となり、これは無理数である。

一般に、$x$ が 0 ではない有理数のとき、$x\sqrt{2}$ は無理数になるので、$x \sqrt{2}$ が有理数となるのは $x = 0$ のときのみである。

したがって、$x \in A$ である有理数 $x$ は一つだけ存在する。

(2) $x$ が無理数の場合：

$x = \sqrt{2}$ のとき、$x\sqrt{2} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$ となり、これは有理数である。

$x = 2\sqrt{2}$ のとき、$x\sqrt{2} = 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 4$ となり、これは有理数である。

$x = a\sqrt{2}$ (ただし、$a$は有理数) とすると、$x\sqrt{2} = a\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2a$ となり、これは有理数である。

$a$ は無数に存在するので、$x=a\sqrt{2}$ も無数に存在する。

したがって、$x \in A$ である無理数 $x$ は三つ以上存在する。

3. 最終的な答え

セ：1

ソ：3