多項式 $P(x)$ は $(x+1)^2$ で割ると余りが $2x+1$、 $x-2$ で割ると余りが $14$ である。このとき、$P(x)$ を $(x+1)^2(x-2)$ で割ったときの余りを求める問題である。 (1)では、その準備として、$ax^2 + bx + c$ を $(x+1)^2$ で割った余りが $2x+1$ であることを利用し、$ax^2 + bx + c$ を $a$ を用いて表し、(ii)で a, b, c の値を求める。 (2)では、多項式 $S(x)$ が与えられた条件から、$S(x)$ を $x+2$ で割ったときの余り $d$ を求める。

## 解答

1. 問題の内容

多項式 $P(x)$ は $(x+1)^2$ で割ると余りが $2x+1$、 $x-2$ で割ると余りが $14$ である。このとき、$P(x)$ を $(x+1)^2(x-2)$ で割ったときの余りを求める問題である。

(1)では、その準備として、$ax^2 + bx + c$ を $(x+1)^2$ で割った余りが $2x+1$ であることを利用し、$ax^2 + bx + c$ を $a$ を用いて表し、(ii)で a, b, c の値を求める。

(2)では、多項式 $S(x)$ が与えられた条件から、$S(x)$ を $x+2$ で割ったときの余り $d$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) (i)

$P(x)$ を $(x+1)^2(x-2)$ で割ったときの余りを $ax^2+bx+c$ とおく。

$P(x)$ を $(x+1)^2$ で割ると余りが $2x+1$ であるから、$ax^2+bx+c$ を $(x+1)^2$ で割った余りも $2x+1$ である。

したがって、$ax^2+bx+c = a(x+1)^2 + 2x + 1 = a(x^2 + 2x + 1) + 2x + 1 = ax^2 + 2ax + a + 2x + 1 = ax^2 + (2a+2)x + (a+1)$.

よって、アに当てはまる式は $a(x+1)^2+2x+1$。したがって、④が答え。

(1) (ii)

$P(x)$ を $x-2$ で割った余りは 14 であるから、$P(2) = 14$.

$P(x) = (x+1)^2 (x-2) Q(x) + ax^2+bx+c$ より、$P(2) = a(2)^2 + b(2) + c = 4a + 2b + c = 14$.

$ax^2 + bx + c = a(x+1)^2+2x+1$ より、$4a + 2b + c = a(2+1)^2 + 2(2) + 1 = 9a + 4 + 1 = 9a + 5$.

したがって、$9a+5=14$、$9a=9$、$a=1$.

$ax^2+bx+c = a(x+1)^2+2x+1 = (x+1)^2+2x+1 = x^2 + 2x + 1 + 2x + 1 = x^2 + 4x + 2$.

よって、$ax^2 + bx + c = x^2 + 4x + 2$.

したがって、$a=1$, $b=4$, $c=2$.

(2)

$S(x)$ を $(x-1)(x+2)(x-5)$ で割ったときの余りを $R(x)$ とおく。$R(x)$ は 2 次以下の多項式であり、$x^2$ の項の係数が 3 であるから、$R(x) = 3x^2 + px + q$ とおくことができる。

$S(x) = (x-1)(x-5) Q'(x) + 5x + 8$ であるから、$S(1) = 5(1) + 8 = 13$、$S(5) = 5(5) + 8 = 33$.

$S(x) = (x+2)(x-1)(x-5)Q(x) + R(x)$ より、$S(1) = R(1)$、$S(5) = R(5)$.

したがって、$R(1) = 3(1)^2 + p(1) + q = 3 + p + q = 13$、$R(5) = 3(5)^2 + p(5) + q = 75 + 5p + q = 33$.

$p + q = 10$、$5p + q = -42$.

$4p = -52$ より、$p = -13$.

$q = 10 - p = 10 - (-13) = 23$.

よって、$R(x) = 3x^2 - 13x + 23$.

$S(x)$ を $x+2$ で割った余りは $d$ であるから、$S(-2) = d$.

$S(x) = (x+2)(x-1)(x-5)Q(x) + R(x)$ より、$S(-2) = R(-2) = 3(-2)^2 - 13(-2) + 23 = 3(4) + 26 + 23 = 12 + 26 + 23 = 61$.

したがって、$d=61$.

3. 最終的な答え

(1) (i) ④

(1) (ii) $a=1$, $b=4$, $c=2$

(2) $d=61$